Suponha que o tempo até a falha (em horas) de ventiladores em um computador pessoal pode ser modelado por uma distribuição exponencial com média de 2647 horas. (Utilize 4 casas decimais).
Qual é a probabilidade de que os ventiladores durem entre 439 e 3515 horas? square

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre distribuição exponencial. A questão nos dá o tempo médio até a falha dos ventiladores de um computador, que é de 2647 horas. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que os ventiladores funcionem entre 439 e 3515 horas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos contínuos e independentes, como a falha de um equipamento. A distribuição exponencial é definida por uma taxa de falha constante, representada por λ (lambda).

Passo 3

Sabemos que a média (μ) de uma distribuição exponencial é o inverso de λ:
mu = 1lambda
Dado que a média é 2647 horas, podemos encontrar λ:
lambda = 12647 approx 0,0003777 horas^-1

Passo 4

A função de distribuição acumulada (CDF) para a distribuição exponencial nos dá a probabilidade de o tempo até a falha ser menor ou igual a um certo valor. A fórmula da CDF é:
P(X <= x) = 1 - e^-lambda x
Queremos encontrar a probabilidade de que X esteja entre 439 e 3515 horas, ou seja:
P(439 <= X <= 3515) = P(X <= 3515) - P(X <= 439)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente usando a fórmula da CDF.
Para $ x = 3515 $:
x = 3515
Para $ x = 439 $:
P(X <= 3515) = 1 - e^-0,0003777 times 3515 = 1 - e^-1,325 approx 1 - 0,2664 = 0,7336

Passo 6

Agora, subtraímos as duas probabilidades para encontrar a probabilidade desejada:
P(439 <= X <= 3515) = 0,7336 - 0,1532 = 0,5804

Resposta

A probabilidade de que os ventiladores durem entre 439 e 3515 horas é de aproximadamente 0,5804 (58,04%).

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