Primeira Prova
Derivar as seguintes funções:
f(x)=raiz2 x-1x+1 (fx) ex

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação juntos! A gente tem que derivar a função $ f(x) = \sqrt{\frac{2x - 1}{x + 1}} $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e quocientes. Para resolver, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de $ \frac{1}{2} $. Então:
12

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, a função externa é a potência $ \left( \cdot \right)^{\frac{1}{2}} $ e a interna é o quociente $ \frac{2x - 1}{x + 1} $.
A derivada de $ f(x) = [g(x)]^n $ é:
( cdot )^12
Aqui, $ n = \frac{1}{2} $ e $ g(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} $.

Passo 4

Vamos calcular $ g’(x) $ usando a Regra do Quociente. A regra diz que se $ g(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
g'(x)
No nosso caso, $ u(x) = 2x - 1 $ e $ v(x) = x + 1 $.
Calculando as derivadas:
g(x) = u(x)v(x)
g'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Aplicando na regra do quociente:
u(x) = 2x - 1

Passo 5

Agora, voltando à derivada da função original usando a Regra da Cadeia:
f'(x) = 12 cdot ( 2x - 1x + 1 )^-12 cdot 3(x + 1)^2
Podemos simplificar isso reescrevendo a potência negativa:
f'(x) = 12 cdot 3(x + 1)^2 cdot 1raiz2x - 1x + 1
Simplificando mais:
f'(x) = 32 cdot 1(x + 1)^2 cdot raizx + 1raiz2x - 1 = 32 cdot 1(x + 1)^32 cdot raiz2x - 1

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 32 (x + 1)^32 raiz2x - 1

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