Primeira Prova
Derivar as seguintes funções:
(fx)
ex
Derivar as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação juntos! A gente tem que derivar a função $ f(x) = \sqrt{\frac{2x - 1}{x + 1}} $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e quocientes. Para resolver, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de $ \frac{1}{2} $. Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, a função externa é a potência $ \left( \cdot \right)^{\frac{1}{2}} $ e a interna é o quociente $ \frac{2x - 1}{x + 1} $.
A derivada de $ f(x) = [g(x)]^n $ é:
Aqui, $ n = \frac{1}{2} $ e $ g(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} $.
Passo 4
Vamos calcular $ g’(x) $ usando a Regra do Quociente. A regra diz que se $ g(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
No nosso caso, $ u(x) = 2x - 1 $ e $ v(x) = x + 1 $.
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Passo 5
Agora, voltando à derivada da função original usando a Regra da Cadeia:
Podemos simplificar isso reescrevendo a potência negativa:
Simplificando mais:
Resposta
A derivada da função é: