Seja
e seja
a curva interseção do elipsoide
com o
plano
orientada de maneira tal que sua projeção no plano
seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule
.
Escolha uma opção:
0
plano
Calcule
Escolha uma opção:
0
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
, onde
e
é a curva fechada dada pela interseção do elipsoide
com o plano
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes para converter o integral de linha em fluxo de
sobre a superfície plana delimitada por
.
Passo 2
Calculamos o rotacional
.
Passo 3
Escolhemos como superfície
o pedaço do plano
limitado por
. O vetor normal unitário com componente
é
e pelo Teorema de Stokes
Passo 4
Calculamos o produto interno e o fator de projeção no plano
:
,
como , resulta
como
onde
Passo 5
Para achar
, substituímos
em
:
Ou seja,
Passo 6
Em coordenadas
com
,
e
, temos
$$\iint_D(1+2x),dA=\iint_{u2+v2\le1}(1+2(u+1)),du,dv=\iint_{u2+v2\le1}(3+2u),du,dv.
Resposta
3\pi