Seja F(x, y, z)=sin (x^2) i+(cos y+x^2) j+(sin z+y)) k e seja gamma a curva interseção do elipsoide x^2+2 y^2+z^2=4 com o
plano x+z=2 orientada de maneira tal que sua projeção no plano x y seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule integralgamma F cdot d r.
Escolha uma opção:
4 pi
0
pi
2 pi
3 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha integralgamma Fcdot dr, onde
F(x,y,z)=sin(x^2),i+(cos y + x^2),j+(sin z + y),k e
gamma é a curva fechada dada pela interseção do elipsoide x^2+2y^2+z^2=4 com o plano x+z=2, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes para converter o integral de linha em fluxo de nablatimesF sobre a superfície plana delimitada por gamma.

Passo 2

Calculamos o rotacional
nablatimesF=(,partialy(sin z+y)-partialz(cos y+x^2),;partialz(sin(x^2))-partialx(sin z+y),;partialx(cos y+x^2)-partialy(sin(x^2)),)=(1,0,2x).

Passo 3

Escolhemos como superfície S o pedaço do plano x+z=2 limitado por gamma. O vetor normal unitário com componente z>0 é
n=(1,0,1)raiz2,
e pelo Teorema de Stokes
integralgammaFcdot dr=integral duplaS(nablatimesF)cdot n,dS

Passo 4

Calculamos o produto interno e o fator de projeção no plano xy:
(nablatimesF)cdot n=(1,0,2x)cdottfrac(1,0,1)raiz2=tfrac1+2xraiz2,
como dS=dAncdot k=raiz2,dA, resulta
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS=integral duplaD(1+2x),dA,
onde D é a projeção de gamma em xy.

Passo 5

Para achar D, substituímos z=2-x em x^2+2y^2+z^2=4:
x^2+2y^2+(2-x)^2=4implies(x-1)^2+y^2=1
Ou seja, D é o disco de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 6

Em coordenadas (u,v) com x=u+1, y=v e u^2+v^2<=1, temos
$$\iint_D(1+2x),dA=\iint_{u2+v2\le1}(1+2(u+1)),du,dv=\iint_{u2+v2\le1}(3+2u),du,dv.
integral duplaD(1+2x),dA=integral duplau^2+v^2<=1(1+2(u+1)),du,dv=integral duplau^2+v^2<=1(3+2u),du,dv á\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=3\pi.$$

Resposta

3\pi

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