Seja f(x, y)=e^{x^{2}-y^{3}} :
(a) Encontre a aproximação linear de f em torno de (1,1)
(b) Use-a para aproximar f(1.02,0.97)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{3}}
e pede duas coisas:
– (a) a aproximação linear (plano tangente) de f em torno de (1,1), ou seja, a linearização L(x,y);
– (b) usar essa L para estimar f(1,02,0,97).
Para isso vamos usar a fórmula da linearização em duas variáveis:
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde (a,b)=(1,1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{x^2-y^3} =2x\,e^{x^2-y^3},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x^2-y^3} =-3y^2\,e^{x^2-y^3}.
Em (1,1) temos
f(1,1)=e^{1^2-1^3}=e^0=1,
f_x(1,1)=2\cdot1\cdot e^0=2,
f_y(1,1)=-3\cdot1^2\cdot e^0=-3.

Passo 3

Substituindo na fórmula da linearização,
L(x,y) =1 + 2\,(x-1) -3\,(y-1).

Passo 4

Para aproximar f(1,02,0,97) usamos
L(1,02,0,97) =1 + 2\,(1,02-1) -3\,(0,97-1) =1 + 2\cdot0,02 -3\cdot(-0,03) =1 +0,04 +0,09 =1,13.

Resposta

(a) \displaystyle L(x,y)=1+2\,(x-1)-3\,(y-1).
(b) \displaystyle f(1,02,0,97)\approx1,13.

Exercícios relacionados