Seja A=(rrr3 & 2 & 0 -6 & -5 & 0 -4 & -4 & 1).
Mostre que lambda1=-3 e lambda2=1 são os únicos autovalores da matriz A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os únicos autovalores da matriz
A= 3 & 2 & 0 -6 & -5 & 0 -4 & -4 & 1
são lambda1=-3 e lambda2=1. Para isso vamos usar o fato de que os autovalores são as raízes do polinômio característico
det(A - lambda I)=0

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 3-lambda & 2 & 0 -6 & -5-lambda & 0 -4 & -4 & 1-lambda

Passo 3

Como na terceira coluna só há um elemento não nulo, expandimos o determinante por essa coluna:
det(A - lambda I) =(1-lambda), det 3-lambda & 2 -6 & -5-lambda

Passo 4

Agora calculamos o determinante da submatriz 2times2:
det 3-lambda & 2 -6 & -5-lambda =(3-lambda)(-5-lambda)-(-6)cdot2 =lambda^2+2lambda-3
Logo o polinômio característico fica
det(A - lambda I) =(1-lambda),(lambda^2+2lambda-3) =(1-lambda)(lambda+3)(lambda-1)
Reescrevendo em forma usual:
det(A - lambda I) =-(lambda-1)^2(lambda+3)

Passo 5

As raízes desse polinômio são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-3 (multiplicidade 1). Portanto, os únicos autovalores de A são
lambda1=-3 e lambda2=1

Resposta

lambda1=-3 e lambda2=1.

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