(2) Seja f(x)=|x|. A função f é derivável em x=0?

Passo 1

O enunciado define f(x)=|x| e pergunta se ela é derivável em x=0. Para responder, vamos usar a definição de derivada pelo quociente incremental, ou seja, investigar se o limite
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h
existe e é único. Em particular, devemos calcular os limites laterais para hto0^+ e hto0^-.

Passo 2

Para h>0 temos f(h)=|h|=h e f(0)=|0|=0. Logo o quociente incremental é
f(h)-f(0)h=h-0h=1,
e portanto
limhto0^+f(h)-f(0)h=1

Passo 3

Para h<0 temos f(h)=|h|=-h (pois h é negativo) e f(0)=0. Assim
f(h)-f(0)h=-h-0h=-1,
e portanto
limhto0^-f(h)-f(0)h=-1

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem ( 1neq -1), o limite
limhto0f(h)-f(0)h
não existe. Pela definição, isso significa que f não é derivável em x=0.

Resposta

A função f(x)=|x| não é derivável em x=0.

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