Seja
e considere a sequência cujo termo geral é
. Prove que:
se
, então
diverge e
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
, a sequência
não converge a um número finito, mas cresce sem limite, isto é,
.
Conteúdo: definição de divergência para e uso da desigualdade de Bernoulli.
Conteúdo: definição de divergência para
Passo 2
Como
, escrevemos
com
. A desigualdade de Bernoulli diz que, para todo
,
Logo
Passo 3
Para provar
, tomamos um número arbitrário
e queremos achar
tal que, para todo
,
.
Pela desigualdade anterior basta escolher satisfazendo
Pela desigualdade anterior basta escolher
Assim, se fixarmos
então para todo
temos
Isso mostra que
fica arbitrariamente grande e, portanto,
.
Resposta
A sequência diverge para
:
quando
.