Seja a in R e considere a sequência cujo termo geral é xn=a^n. Prove que:
se a>1, então (xn) diverge e lim a^n=+infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se a>1, a sequência
xn = a^n
não converge a um número finito, mas cresce sem limite, isto é, limntoinftya^n=+infty.
Conteúdo: definição de divergência para +infty e uso da desigualdade de Bernoulli.

Passo 2

Como a>1, escrevemos a=1+h com h>0. A desigualdade de Bernoulli diz que, para todo ninN,
(1+h)^n >= 1 + n,h
Logo
xn = a^n = (1+h)^n >= 1 + n,h

Passo 3

Para provar limntoinftyxn=+infty, tomamos um número arbitrário M>0 e queremos achar N tal que, para todo n>= N, xn > M.
Pela desigualdade anterior basta escolher N satisfazendo
1 + N,h > M Long<=ftrightarrow N > M-1h
Assim, se fixarmos
N = llceil M-1hrrceil,
então para todo n>= N temos
xn >= 1 + n,h >= 1 + N,h > M
Isso mostra que xn fica arbitrariamente grande e, portanto, limntoinftya^n=+infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty: limntoinftya^n=+infty quando a>1.

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