Seja a equação diferencial d yd x=f(x, y), onde f: I R^2 I R é dada por
f(x, y)=c x yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
i) Mostre que a equação acima admite soluções para condições iniciais y(x0)=y0 arbitrárias.
j) f satisfaz localmente as condições do Teorema de Picard ? Justifique.
k) E as do Teorema de Peano? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx=f(x,y), f(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede em (i) mostrar que sempre existe solução passando por (x0,y0), em (j) verificar se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf (existência + unicidade segundo Lipschitz em y), e em (k) as do Teorema de Peano (existência só por continuidade de f). Vamos usar separação para construir a solução e depois examinar continuidade e Lipschitz.]

Passo 2

Para resolver a EDO em (x,y)neq(0,0) fazemos a substituição homogênea
y=v,x, v=yx, xneq0
Então
dydx=v + xdvdx e dydx =x,(v x)x^2+(v x)^2 =v1+v^2
Igualando as expressões,
v + xdvdx=v1+v^2 ;Longrightarrow; xdvdx =-,v^31+v^2 ;Longrightarrow; 1+v^2v^3,dv=-dxx
Integrando ambos os lados,
integral!l(v^-3+v^-1r),dv =integral!-,dxx ;Longrightarrow; -12v^2+ln|v|=-ln|x|+C
Voltando a y=v,x e rearranjando, a solução implícita é
ln|y|-x^22,y^2=K,
com K fixado pela condição inicial.

Passo 3

Dessa forma, para qualquer (x0,y0) com y0neq0 existe uma curva implícita
F(x,y)=ln|y|-x^22y^2-K=0
que passa por (x0,y0). Como partial F/partial yneq0 junto à condição inicial, pelo Teorema da Função Implícita podemos resolver localmente y como função contínua e diferenciável de x.
No caso y0=0 em x0, basta notar que a função identicamente nula
y(x)equiv0
satisfaz tfracdydx=0=f(0,0) e atende y(x0)=0. Logo há solução em todo caso.

Passo 4

Para ver se f é localmente Lipschitz em y (condição de Picard) calculemos
partial fpartial y =x,(x^2+y^2)-x,y,(2y)(x^2+y^2)^2 =x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
Em qualquer ponto com (x,y)neq(0,0) esse derivado é contínuo numa vizinhança, logo f é localmente Lipschitz em y e vale Picard–Lindelöf (existência + unicidade). Mas em torno de (0,0) a expressão explode e nem partial f/partial y existe de modo limitado, portanto não há condição de Lipschitz em y no ponto (0,0).

Passo 5

Quanto ao Teorema de Peano, ele exige só que f seja contínua em uma vizinhança do ponto inicial. Observamos que
lim(x,y)to(0,0)x,yx^2+y^2
depende da direção de aproximação, logo f é descontínua em (0,0). Assim f satisfaz Peano para todo ponto inicial (x0,y0)neq(0,0), garantindo existência local, mas não satisfaz em (0,0) (mesmo que, por construção, a solução trivial exista).

Resposta

i) Para a EDO é homogênea e leva à solução implícita
, que pelo Teorema da Função Implícita dá . Para toma-se a solução .
j) é localmente Lipschitz em em qualquer região que não contenha , então Picard vale para iniciais fora da origem, mas falha em .
k) é contínua em , logo Peano vale para iniciação fora da origem, mas não vale em .

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