Sejam g, f: I R I R contínuas sendo f Lipschitziana. Prove que o sistema
c x^prime=f(x), x(t0)=x0 y^prime=g(x) y, y(t0)=y0
tem solução única em qualquer intervalo onde ela esteja definida. Pode-se retirar a hipótese de f ser Lipschitziana e obter a mesma conclusão.

Passo 1

O enunciado trata do sistema triangular
x' = f(x), & x(t0) = x0, y' = g(x),y, & y(t0) = y0,
onde f e g são funções contínuas em um intervalo IsubsetR e, inicialmente, supomos f Lipschitziana em I. O conteúdo é existência e unicidade de solução de sistemas de EDOs, e precisaremos do teorema de Picard–Lindelöf e também da resolução explícita via quadraturas no caso triangular.

Passo 2

Como f é Lipschitziana em I e g é contínua em I, o campo de vetores
F(x,y)=l(f(x),,g(x),yr)
é Lipschitziano em (x,y) num retângulo compacto de R^2. Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução (x(t),y(t)) passando por (x0,y0) em torno de t0.

Passo 3

Mostramos agora como se constrói essa solução de modo explícito.
1. A equação x'=f(x) é autônoma e separável. Escrevemos
dxf(x) = dt
e, integrando de t0 a t, obtemos implicitamente
integralx0^,x(t)duf(u) = t - t0
Sob a hipótese de f Lipschitz, essa relação define de modo único x(t).
2. Tendo x(t) em mãos, a segunda equação é linear em y:
y' = gl(x(t)r),y
Pelo método do fator integrante, a solução única é
y(t) ;=; y0,exp!l(integralt0^tgl(x(s)r),dsr)

Passo 4

Agora, suponha apenas f contínua (retiramos a hipótese de Lipschitz). Como o sistema é triangular, procedemos assim:
1. Se f(x0)neq0, pela continuidade de f existe vizinhança onde f não muda de sinal e não se anula. A equação x'=f(x) permanece separável e, como o integrando 1/f(u) é contínuo ali, a integral
integralx0^,x(t)duf(u) = t - t0
continua bem definida e invertível, garantindo unicidade de x(t) naquele intervalo.
2. Se f(x0)=0, a solução trivial x(t)equiv x0 satisfaz x'=f(x). Qualquer outra solução que partisse de x0 teria de satisfazer a mesma integral acima, e fica fácil ver que ela não pode deixar x0 sem violar a igualdade. Logo, x(t)equiv x0 é única.
3. Com a função x(t) única, a EDO linear em y
y' = gl(x(t)r),y, y(t0)=y0
tem coeficiente contínuo g(x(t)). Pelo teorema clássico de unicidade para EDOs lineares, a solução é única e dada por
y(t) = y0,exp!l(integralt0^tgl(x(s)r),dsr)

Resposta

O sistema tem solução única em qualquer intervalo onde esteja definido, tanto sob a hipótese de f ser Lipschitziana (Picard–Lindelöf) quanto apenas contínua (resolução por quadraturas no sistema triangular).

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