Sejam
contínuas sendo
Lipschitziana. Prove que o sistema
tem solução única em qualquer intervalo onde ela esteja definida. Pode-se retirar a hipótese de
ser Lipschitziana e obter a mesma conclusão.
Passo 1
O enunciado trata do sistema triangular
onde
e
são funções contínuas em um intervalo
e, inicialmente, supomos
Lipschitziana em
. O conteúdo é existência e unicidade de solução de sistemas de EDOs, e precisaremos do teorema de Picard–Lindelöf e também da resolução explícita via quadraturas no caso triangular.
Passo 2
Como
é Lipschitziana em
e
é contínua em
, o campo de vetores
é Lipschitziano em
num retângulo compacto de
. Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução
passando por
em torno de
.
Passo 3
Mostramos agora como se constrói essa solução de modo explícito.
e, integrando de
a
, obtemos implicitamente
Sob a hipótese de
Lipschitz, essa relação define de modo único
.
Pelo método do fator integrante, a solução única é
Passo 4
Agora, suponha apenas
contínua (retiramos a hipótese de Lipschitz). Como o sistema é triangular, procedemos assim:
continua bem definida e invertível, garantindo unicidade de
naquele intervalo.
tem coeficiente contínuo
. Pelo teorema clássico de unicidade para EDOs lineares, a solução é única e dada por
Resposta
O sistema tem solução única em qualquer intervalo onde esteja definido, tanto sob a hipótese de
ser Lipschitziana (Picard–Lindelöf) quanto apenas contínua (resolução por quadraturas no sistema triangular).