Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
é uma curva suave da origem ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
ao longo de uma curva suave de
até
. Como a integral independe do caminho, vamos tratar o campo vetorial
ao longo de uma curva suave
como conservativo e achar sua função potencial.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, comparamos as derivadas parciais:
Como
num domínio convexo,
é conservativo.
Passo 3
Buscamos
tal que
.
Integramos em :
Integramos em
Para determinar
, usamos
deve igualar . Logo
e
é constante (que podemos tomar zero).
deve igualar
Passo 4
A integral de linha vale