Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
integralgamma e^x sen y d x+e^x cos y d y ; gamma é uma curva suave da origem ao ponto (1, pi2).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgamma e^xsin y,dx + e^xcos y,dy
ao longo de uma curva suave gamma de (0,0) até l(1,tfracpi2r). Como a integral independe do caminho, vamos tratar o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(e^xsin y,;e^xcos yr)
como conservativo e achar sua função potencial.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, comparamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^xsin yr) = e^xcos y, partial Qpartial x = partialpartial xl(e^xcos yr) = e^xcos y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x num domínio convexo, F é conservativo.

Passo 3

Buscamos F(x,y) tal que
partial Fpartial x = P(x,y) = e^xsin y.
Integramos em x:
F(x,y) = integral e^xsin y,dx = e^xsin y + C(y)
Para determinar C(y), usamos
partial Fpartial y = e^xcos y + C'(y)
deve igualar Q(x,y)=e^xcos y. Logo C'(y)=0 e C é constante (que podemos tomar zero).

Passo 4

A integral de linha vale
Fl(1,tfracpi2r)-F(0,0) = l(e^1sintfracpi2r) - l(e^0sin 0r) = ecdot1 - 1cdot0 = e

Resposta

e

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