Em cada problema de valor inicial, utilize o teorema de Peano ou o teorema de Picard para determinar se existe uma única solução em torno da condição inicial, se existe uma solução em torno da condição inicial mas não necessariamente única, ou se nada podemos afirmar quanto à existência de soluções. Não é necessário encontrar as soluções.
y^{\prime}(x)=4 y^{\frac{3}{4}}, y(0)=0.

Passo 1

O problema é o PVI
y' = 4\,y^{3/4},\quad y(0)=0,
e o que queremos é aplicar os teoremas de existência de Peano e de unicidade de Picard-Lindelöf para decidir se há solução única, solução não única, ou nada se pode afirmar.

Passo 2

Definimos f(x,y)=4\,y^{3/4}. Note que f é contínua para todo y\ge0, logo no retângulo
R = \{(x,y)\mid |x|\le a,\;0\le y\le b\}
contendo (0,0) temos as hipóteses do teorema de Peano satisfeitas. Portanto existe ao menos uma solução do PVI em torno de x=0.

Passo 3

Para aplicar Picard-Lindelöf precisaríamos que f fosse Lipschitz em y. Calculamos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =4\cdot\frac{3}{4}y^{-1/4} =3\,y^{-1/4},
que não é limitada quando y\to0^+. Assim f não é Lipschitz em y numa vizinhança de (0,0) e o teorema de Picard-Lindelöf não garante unicidade.

Resposta

Há existência de solução em torno de x=0, mas não podemos afirmar unicidade.

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