Em cada problema de valor inicial, utilize o teorema de Peano ou o teorema de Picard para determinar se existe uma única solução em torno da condição inicial, se existe uma solução em torno da condição inicial mas não necessariamente única, ou se nada podemos afirmar quanto à existência de soluções. Não é necessário encontrar as soluções.
\left(1+x^{2}+y^{2}\right) y^{\prime}(x)=1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(1 + x^{2} + y^{2})\,y'(x) = 1 + x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2},\quad y(0)=1
e pede para usarmos o teorema de Peano ou o de Picard para determinar existência e unicidade de solução local.

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma padrão y'=f(x,y). Dividindo por 1 + x^{2} + y^{2}, que é sempre positivo, obtemos
y' = f(x,y) \quad\text{com}\quad f(x,y)=\frac{1 + x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} =1 + \frac{x^{2}y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}}.

Passo 3

Pelo teorema de Peano, como f(x,y) é contínua em \mathbb{R}^{2} (o denominador nunca zera), temos garantia de existência de pelo menos uma solução local que satisfaça y(0)=1.

Passo 4

Para unicidade, aplicamos Picard–Lindelöf. Note que
\frac{\partial f}{\partial y}
existe e é contínua em todo \mathbb{R}^{2}, pois o denominador 1 + x^{2} + y^{2} nunca anula. Logo f é localmente Lipschitz em y e temos unicidade da solução em torno de x=0.

Resposta

Em torno da condição inicial existe uma única solução local.

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