Seja a equação diferencial:
partial^2 A(x)partial x^2+2 partial A(x)partial x+xA(x)=2 x, A(0)=-1, A(7)=1
(a) Utilizando o método das diferenças finitas, determinar A(x) nos cinco pontos para x=1,2,4,5 e 6 . Utilizar o Método da Eliminação de Gauss para determinar a solução do sistema 5 times 5 obtido. Apresentar os desenvolvimentos de cálculo e teórico.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar a solução da EDO
A''(x)+2A'(x)+x,A(x)=2x, A(0)=-1,;A(7)=1
usando o método das diferenças finitas em cinco pontos interiores A''(xi)approx 2hi+hi-1l(Ai+1-Aihi-Ai-Ai-1hi-1r), A'(xi)approx Ai+1-Ai-1hi+hi-1 , montar o sistema linear e resolver por eliminação de Gauss.
Conteúdo:
- Diferenças finitas para derivadas em malha não uniforme
- Montagem de sistema linear
- Eliminação de Gauss (pivôs, eliminação e retro-substituição)
O que vamos precisar:
  1. Calcular os espaçamentos .
  2. Usar as fórmulas gerais
  3. Montar as cinco equações, aplicar condições de contorno , .
  4. Organizar em matriz aumentada e usar Gauss.

Passo 2

Definimos os nós
x0=0,;x1=1,;x2=2,;x3=4,;x4=5,;x5=6,;x6=7
e os espaçamentos
h1=x1-x0=1,; h2=x2-x1=1,; h3=x3-x2=2,; h4=x4-x3=1,; h5=x5-x4=1,; h6=x6-x5=1
Em cada ponto interior A''(xi)+2A'(xi)+xi,Ai=2xi ( ) a EDO vira
Substituímos e pelas diferenças finitas acima.

Passo 3

Vamos escrever cada equação:
i=1, A''1approx22l[(A2-A1)-l(A1-(-1)r)r] =(A2-2A1-1), A'1approxA2-(-1)2=A2+12 , (A2-2A1-1)+2cdotA2+12+A1=2 ;Longrightarrow; -,A1+2A2=2 , A''2approx23l[A3-A22-(A2-A1)r] =A3-3A2+2A13, A'2approxA3-A13 , usando A3-3A2+2A13+2A3-A13+2A2=4 ;Longrightarrow; A2+A3=4 :
A''3approx23l[(A4-A3)-tfracA3-A22r] =2A4-3A3+A23, A'3approxA4-A23
Plugando em 2A4-3A3+A23+2A4-A23+4A3=8 ;Longrightarrow; -,A2+9A3+4A4=24 :
A''4approx(A5-2A4+A3), A'4approxA5-A32
i=2, (A5-2A4+A3)+(A5-A3)+5A4=10 ;Longrightarrow; 3A4+2A5=10 , A''5approx(1-2A5+A4), A'5approx1-A42 , (1-2A5+A4)+(1-A4)+6A5=12 ;Longrightarrow; 4A5+2=12 ;Longrightarrow; A5=2,5 :
Na EDO :
i=3, , , :
Na EDO :
i=4, , , :
Na EDO :
i=5, , , , usando :
Na EDO :

Passo 4

O sistema linear fica, em forma aumentada:
[
-1 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 9 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 A1A2A3A4A5 = 2424102,5

.
]

Passo 5

Agora aplicamos eliminação de Gauss (já está quase triangular):
  1. Na última linha: -A2+9A3+4cdot53=24 ;Longrightarrow; -A2+9A3=24-tfrac203= tfrac523 -(4-A3)+9A3=523 ;Longrightarrow; -4+10A3=523 ;Longrightarrow; 10A3=523+4=643 ;Longrightarrow; A3=6430=3215approx2,1333, A2=4-2,1333=1,8667 .
  2. 4ª linha: .
  3. 3ª linha: . Substituindo :
  4. 2ª linha: . Daí .
    Substituindo em :
  5. 1ª linha: .

Resposta

As aproximações em cada ponto são
A(1)approx1,7334, A(2)approx1,8667, A(4)approx2,1333, A(5)approx1,6667, A(6)approx2,5000

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