(a) Utilizando o método das diferenças finitas, determinar nos cinco pontos para e 6 . Utilizar o Método da Eliminação de Gauss para determinar a solução do sistema obtido. Apresentar os desenvolvimentos de cálculo e teórico.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra aproximar a solução da EDO
usando o método das diferenças finitas em cinco pontos interiores , montar o sistema linear e resolver por eliminação de Gauss.
Conteúdo:
- Diferenças finitas para derivadas em malha não uniforme
- Montagem de sistema linear
- Eliminação de Gauss (pivôs, eliminação e retro-substituição)
O que vamos precisar:
Calcular os espaçamentos .
Usar as fórmulas gerais
Montar as cinco equações, aplicar condições de contorno , .
Organizar em matriz aumentada e usar Gauss.
Passo 2
Definimos os nós
e os espaçamentos
Em cada ponto interior () a EDO vira
Substituímos e pelas diferenças finitas acima.
Passo 3
Vamos escrever cada equação:
i=1, , , , usando :
Plugando em :
i=2, , , :
Na EDO :
i=3, , , :
Na EDO :
i=4, , , :
Na EDO :
i=5, , , , usando :
Na EDO :
Passo 4
O sistema linear fica, em forma aumentada:
[
.
]
Passo 5
Agora aplicamos eliminação de Gauss (já está quase triangular):