Seja C uma curva definida por r(t)=3 e^-3 t cos (t) i+5 e^-3 t sen(t) j+2 e^-3 t k, para 0 <= t <= pi. Utilizar um Método de Integração Numérica para calcular o comprimento de C. Apresentar o desenvolvimento de cálculo e teórico do método utilizado.

Passo 1

Então, o exercício pede o comprimento de arco da curva

para , usando um método de integração numérica.
Conteúdo: comprimento de arco de curvas paramétricas e Regra de Simpson (integração numérica).
O que vamos precisar:
  • A fórmula do comprimento de arco
  • Derivar para achar
  • Entender a Regra de Simpson e aplicá-la com um certo número de subintervalos

Passo 2

Primeiro lembramos que o comprimento de arco é
L=integral0^pi|vec r,'(t)|,dt
Então vamos derivar componente a componente:
vec r(t)=l(3e^-3tcos t,;5e^-3tsin t,;2e^-3tr)
Derivando:
x'(t)&=3ddtl(e^-3tcos tr) =3e^-3t(-3cos t-sin t), y'(t)&=5ddtl(e^-3tsin tr) =5e^-3t(-3sin t+cos t), z'(t)&=2ddtl(e^-3tr) =2(-3)e^-3t=-6e^-3t

Passo 3

A norma é
|vec r,'(t)| =e^-3traiz(-9cos t-3sin t)^2+(-15sin t+5cos t)^2+(-6)^2,
Chamando essa função de L=integral0^pif(t),dt , o comprimento é

Passo 4

Como não tem solução elementar, usamos a Regra de Simpson 1/3:
se dividirmos o intervalo h=pi-0n, em integral0^pif(t),dtapprox h3l[f(t0)+4f(t1)+2f(t2)+4f(t3)+cdots+f(tn)r] subintervalos iguais (com par) de largura
então
Isso vem de aproximar por parábolas em cada par de subintervalos.

Passo 5

Vamos escolher t0=0,;t1=tfracpi4,;t2=tfracpi2,;t3=tfrac3pi4,;t4=pi (o mínimo par) para exemplificar.
Então f(t0)&approx11.916, f(t1)approx1.190, f(t2)approx0.148, f(t3)&approx0.0135, f(t4)approx0.00096 e os pontos são
S=f0+4f1+2f2+4f3+f4 approx11.916+4cdot1.190+2cdot0.148+4cdot0.0135+0.00096 approx17.027
Calculando numericamente (usando uma calculadora) obtemos aproximadamente:
A soma de Simpson fica:

Passo 6

Agora multiplicamos por h/3=pi/43=pi12approx0.2618, :
Lapprox pi12times17.027approx4.456

Resposta

O comprimento aproximado da curva é
boxedLapprox4.456

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