Seja
uma curva definida por
, para
. Utilizar um Método de Integração Numérica para calcular o comprimento de C. Apresentar o desenvolvimento de cálculo e teórico do método utilizado.
Passo 1
Então, o exercício pede o comprimento de arco da curva
para , usando um método de integração numérica.
Conteúdo: comprimento de arco de curvas paramétricas e Regra de Simpson (integração numérica).
O que vamos precisar:
para
Conteúdo: comprimento de arco de curvas paramétricas e Regra de Simpson (integração numérica).
O que vamos precisar:
- A fórmula do comprimento de arco
- Derivar
para achar - Entender a Regra de Simpson e aplicá-la com um certo número de subintervalos
Passo 2
Primeiro lembramos que o comprimento de arco é
Então vamos derivar componente a componente:
Derivando:
Passo 3
A norma é
Chamando essa função de
, o comprimento é
Passo 4
Como não tem solução elementar, usamos a Regra de Simpson 1/3:
se dividirmos o intervalo em
subintervalos iguais (com
par) de largura
se dividirmos o intervalo
então
Isso vem de aproximar
por parábolas em cada par de subintervalos.
Passo 5
Vamos escolher
(o mínimo par) para exemplificar.
Então e os pontos são
Então
Calculando numericamente (usando uma calculadora) obtemos aproximadamente:
A soma de Simpson fica:
Passo 6
Agora multiplicamos por
:
Resposta
O comprimento aproximado da curva é