Seja a equação diferencial
y^prime prime-3 y^prime+2 y=x e^2 x+11+e^-x
Discuta como podem ser combinados os métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante:
y'' - 3 y' + 2 y = x e^2x + 11 + e^-x
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e os métodos de coeficientes a determinar e variação dos parâmetros. Para resolver essa equação, vamos combinar esses dois métodos para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Para isso, encontramos a equação característica associada:
r^2 - 3 r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^x
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos abordar a parte não homogênea da equação:
y'' - 3 y' + 2 y = x e^2x + 11 + e^-x
Aqui, temos dois termos no lado direito:
  1. — Para este termo, usaremos o método dos coeficientes a determinar.
  2. — Este termo é mais complicado e vamos utilizar o método de variação dos parâmetros.

Passo 5

Vamos começar com yp1 = x (A x + B) e^2x . Como já é uma solução da parte homogênea, precisamos multiplicar por para evitar duplicidade. Supomos uma solução particular na forma:
Derivando e substituindo na equação original, podemos resolver para os coeficientes e .

Passo 6

Agora, para o termo yp2 = u1(x) e^2x + u2(x) e^x , que não é uma solução que podemos tratar facilmente com coeficientes a determinar, usamos a variação dos parâmetros.
Primeiro, precisamos das soluções da parte homogênea e .
Então, a solução particular será:
onde e são funções que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de , substituímos na equação diferencial e resolvemos para e . Integrando essas expressões, encontramos e , e assim obtemos .

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
y = yh + yp1 + yp2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^x + x (A x + B) e^2x + u1(x) e^2x + u2(x) e^x
onde e são constantes, e , , , são determinados pelos métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros.

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