Seja a equação diferencial
Discuta como podem ser combinados os métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante:
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e os métodos de coeficientes a determinar e variação dos parâmetros. Para resolver essa equação, vamos combinar esses dois métodos para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos abordar a parte não homogênea da equação:
Aqui, temos dois termos no lado direito:
-
— Para este termo, usaremos o método dos coeficientes a determinar. -
— Este termo é mais complicado e vamos utilizar o método de variação dos parâmetros.
Passo 5
Vamos começar com
. Como
já é uma solução da parte homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicidade. Supomos uma solução particular na forma:
Derivando
e substituindo na equação original, podemos resolver para os coeficientes
e
.
Passo 6
Agora, para o termo
, que não é uma solução que podemos tratar facilmente com coeficientes a determinar, usamos a variação dos parâmetros.
Primeiro, precisamos das soluções da parte homogênea
e
.
Então, a solução particular será:
onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
, substituímos na equação diferencial e resolvemos para
e
. Integrando essas expressões, encontramos
e
, e assim obtemos
.
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes, e
,
,
,
são determinados pelos métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros.