Determine a carga e a corrente no instante t no circuito R L C se R=40 Omega, L=1 H, C= 16 times 10^-4 F, E(t)=100 cos 10 t e a carga e a corrente inicial forem ambas 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC com resistência , indutância , capacitância e uma fonte de tensão . A carga e a corrente inicial são zero. Nosso objetivo é encontrar a carga e a corrente no instante . Para isso, vamos usar as equações diferenciais que descrevem o comportamento de circuitos RLC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação diferencial para um circuito RLC série com fonte de tensão L d^2 q(t)dt^2 + R dq(t)dt + q(t)C = E(t) :
Aqui, é a carga no capacitor e é a corrente.

Passo 3

Substituindo os valores do problema na equação:
1 cdot d^2 q(t)dt^2 + 40 cdot dq(t)dt + q(t)16 times 10^-4 = 100 cos(10t)
Simplificando:
d^2 q(t)dt^2 + 40 dq(t)dt + 6250 , q(t) = 100 cos(10t)

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( q(t) = qh(t) + qp(t) ) e uma solução particular ( ).

Passo 5

Vamos resolver primeiro a equação homogênea:
d^2 qh(t)dt^2 + 40 dqh(t)dt + 6250 , qh(t) = 0
Assumimos uma solução da forma s^2 + 40s + 6250 = 0 . Substituindo na equação:
s = -40 pm raiz40^2 - 4 cdot 1 cdot 62502 = -40 pm raiz1600 - 250002 = -40 pm raiz-234002
Resolvendo a equação quadrática para s = -20 pm j cdot raiz23400/2 = -20 pm j cdot 75.918 :

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução homogênea é:
qh(t) = e^-20 t ( A cos(75.918 t) + B sin(75.918 t) )
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução particular d^2 qp(t)dt^2 + 40 dqp(t)dt + 6250 , qp(t) = 100 cos(10t) para a equação não homogênea:
qp(t) = C cos(10t) + D sin(10t)
Vamos assumir uma solução particular da forma:

Passo 8

Calculando as derivadas:
dqp(t)dt = -10 C sin(10t) + 10 D cos(10t)
d^2 qp(t)dt^2 = -100 C cos(10t) - 100 D sin(10t)
Substituindo na equação original:
(-100 C cos(10t) - 100 D sin(10t)) + 40 (-10 C sin(10t) + 10 D cos(10t)) + 6250 (C cos(10t) + D sin(10t)) = 100 cos(10t)
Simplificando:
(-100 C + 400 D + 6250 C) cos(10t) + (-100 D - 400 C + 6250 D) sin(10t) = 100 cos(10t)

Passo 9

Igualando os coeficientes de (-100 C + 400 D + 6250 C) = 100 e (-100 D - 400 C + 6250 D) = 0 :
6150 C + 400 D = 100
-400 C + 6150 D = 0
Simplificando:

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
-400 C + 6150 D = 0 Rightarrow C = 6150400 D = 15.375 D
Substituindo na primeira equação:
6150 (15.375 D) + 400 D = 100
94556.25 D + 400 D = 100
94956.25 D = 100 Rightarrow D = 10094956.25 approx 0.001054 , F
Então,
C = 15.375 times 0.001054 approx 0.0162 , F

Passo 11

Portanto, a solução particular é:
qp(t) = 0.0162 cos(10t) + 0.001054 sin(10t)

Passo 12

Agora, a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
q(t) = e^-20 t ( A cos(75.918 t) + B sin(75.918 t) ) + 0.0162 cos(10t) + 0.001054 sin(10t)

Passo 13

Aplicando as condições iniciais 0 = e^0 (A cdot 1 + B cdot 0) + 0.0162 cdot 1 + 0.001054 cdot 0 Rightarrow A + 0.0162 = 0 Rightarrow A = -0.0162 e dqdt(t) = e^-20 t ( -20 A cos(75.918 t) - 75.918 A sin(75.918 t) + -20 B sin(75.918 t) + 75.918 B cos(75.918 t) ) - 0.162 sin(10t) + 0.01054 cos(10t) :
Para 0 = (-20 A + 75.918 B) + 0.01054 :
-20 (-0.0162) + 75.918 B + 0.01054 = 0
Calculando 0.324 + 75.918 B + 0.01054 = 0 Rightarrow 75.918 B = -0.33454 Rightarrow B approx -0.0044 e aplicando :
Para :

Passo 14

Substituindo q(t) = e^-20 t ( -0.0162 cos(75.918 t) - 0.0044 sin(75.918 t) ) + 0.0162 cos(10t) + 0.001054 sin(10t) e na solução geral:

Passo 15

A corrente i(t) = dq(t)dt é a derivada da carga:
i(t) = e^-20 t ( ( -20)(-0.0162) cos(75.918 t) + 0.0162 cdot 75.918 sin(75.918 t) + (-20)(-0.0044) sin(75.918 t) + (-0.0044) cdot 75.918 cos(75.918 t) ) - 0.162 sin(10t) + 0.01054 cos(10t)
Calculando a derivada:
i(t) = e^-20 t ( 0.324 cos(75.918 t) + 1.228 sin(75.918 t) + 0.088 sin(75.918 t) - 0.334 cos(75.918 t) ) - 0.162 sin(10t) + 0.01054 cos(10t)
Simplificando:
i(t) = e^-20 t ( -0.01 cos(75.918 t) + 1.316 sin(75.918 t) ) - 0.162 sin(10t) + 0.01054 cos(10t)

Resposta

Portanto, as expressões para a carga e a corrente no instante q(t) = e^-20 t ( -0.0162 cos(75.918 t) - 0.0044 sin(75.918 t) ) + 0.0162 cos(10t) + 0.001054 sin(10t) são:
i(t) = e^-20 t ( -0.01 cos(75.918 t) + 1.316 sin(75.918 t) ) - 0.162 sin(10t) + 0.01054 cos(10t)

Exercícios relacionados