Determine a carga e a corrente no instante
no circuito
se
e a carga e a corrente inicial forem ambas 0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC com resistência
, indutância
, capacitância
e uma fonte de tensão
. A carga e a corrente inicial são zero. Nosso objetivo é encontrar a carga
e a corrente
no instante
. Para isso, vamos usar as equações diferenciais que descrevem o comportamento de circuitos RLC.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação diferencial para um circuito RLC série com fonte de tensão
:
Aqui,
é a carga no capacitor e
é a corrente.
Passo 3
Substituindo os valores do problema na equação:
Simplificando:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular (
).
Passo 5
Vamos resolver primeiro a equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução homogênea é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos assumir uma solução particular da forma:
Passo 8
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes de
e
:
Simplificando:
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Passo 12
Agora, a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
Aplicando as condições iniciais
e
:
Para
:
Calculando
e aplicando
:
Para
:
Passo 14
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 15
A corrente
é a derivada da carga:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Resposta
Portanto, as expressões para a carga e a corrente no instante
são: