Seja a equação diferencial
y^prime prime-3 y^prime+2 y=x e^2 x+11+e^-x
Leve a cabo suas ideias e resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta é pra resolver a seguinte equação diferencial:
y'' - 3y' + 2y = x e^2x + 11 + e^-x
Então, o conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para o lado direito não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para resolver isso, a gente assume que a solução tem a forma y = e^rx, onde r é uma constante que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação:
r^2 e^rx - 3r e^rx + 2e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero):
r^2 - 3r + 2 = 0

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática:
r^2 - 3r + 2 = 0
Vamos resolver para r usando a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, as soluções são:
r1 = 2 e r2 = 1

Passo 4

Com esses valores de r, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' - 3y' + 2y = x e^2x + 11 + e^-x
Vamos dividir isso em duas partes porque o lado direito é a soma de duas funções diferentes. Ou seja:
  1. x e^2x
  2. 11 + e^-x

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a solução particular para o termo x e^2x.
Como o termo é da forma polinomial vezes exponencial, tentamos uma solução da forma:
yp1 = (A x + B) e^2x
Onde A e B são constantes que a gente vai determinar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de yp1:
Primeira derivada:
yp1' = (A x + B) cdot 2 e^2x + A e^2x = (2A x + 2B + A) e^2x
Segunda derivada:
yp1'' = (2A x + 2B + A) cdot 2 e^2x + 2A e^2x = (4A x + 4B + 2A + 2A) e^2x = (4A x + 4B + 4A) e^2x

Passo 8

Agora, substituímos yp1, yp1' e yp1'' na equação diferencial:
(4A x + 4B + 4A) e^2x - 3(2A x + 2B + A) e^2x + 2(A x + B) e^2x = x e^2x
Simplificando:
[4A x + 4B + 4A] - [6A x + 6B + 3A] + [2A x + 2B] = x
Agrupando os termos:
  • Coeficiente de x: 4A - 6A + 2A = 0
  • Termo constante: 4B + 4A - 6B - 3A + 2B = (4B - 6B + 2B) + (4A - 3A) = 0 + A = A
Então, temos:
0 cdot x + A = x
Para isso ser verdade para todo x, precisamos que:
A = x
Mas isso não faz sentido, porque A é uma constante. Isso significa que nossa suposição inicial para yp1 está “colidindo” com a solução homogênea. Para evitar isso, a gente multiplica por x a suposição inicial:
yp1 = x(A x + B) e^2x = (A x^2 + B x) e^2x

Passo 9

Vamos recalcular as derivadas com a nova suposição:
Primeira derivada:
yp1' = (A x^2 + B x) cdot 2 e^2x + (2A x + B) e^2x = (2A x^2 + 2B x + 2A x + B) e^2x
Segunda derivada:
yp1'' = (2A x^2 + 2B x + 2A x + B) cdot 2 e^2x + (2A x + 2A + B) cdot 2 e^2x = (4A x^2 + 4B x + 4A x + 2B + 4A x + 4A + 2B) e^2x
Simplificando:
yp1'' = (4A x^2 + (4B + 8A) x + 4A + 4B) e^2x

Passo 10

Substituímos de novo na equação diferencial:
(4A x^2 + (4B + 8A) x + 4A + 4B) e^2x - 3(2A x^2 + (2B + 2A) x + B) e^2x + 2(A x^2 + B x) e^2x = x e^2x
Simplificando termo a termo:
  • Primeiro termo: 4A x^2 + (4B + 8A) x + 4A + 4B
  • Segundo termo: -6A x^2 - 6B x - 3A
  • Terceiro termo: 2A x^2 + 2B x
Agrupando:
(4A x^2 - 6A x^2 + 2A x^2) + [(4B + 8A) x - 6B x + 2B x] + [4A + 4B - 3A] = x
Calculando cada parte:
  • x^2: (4A - 6A + 2A) = 0
  • x: (4B + 8A - 6B + 2B) = 8A
  • Constante: (4A + 4B - 3A) = A + 4B
Então:
8A x + (A + 4B) = x
Para que isso seja igual a x para todo x, precisamos que:
8A = 1 e A + 4B = 0

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
  1. 8A = 1 A = 18
  2. A + 4B = 0 18 + 4B = 0 4B = -18 B = -132
Então, nossa solução particular para o primeiro termo é:
yp1 = ( 18 x^2 - 132 x ) e^2x

Passo 12

Agora, vamos encontrar a solução particular para o segundo termo do lado direito: 11 + e^-x.
Esse termo é a função logística, que não se encaixa facilmente nas técnicas padrão como coeficientes a determinar. Por isso, vamos usar o método da Variação dos Parâmetros.

Passo 13

Primeiro, precisamos das soluções da equação homogênea, que já encontramos:
yh = C1 e^2x + C2 e^x
Vamos chamar y1 = e^2x e y2 = e^x. Essas são as soluções independentes.

Passo 14

Usando a variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
yp2 = u1 y1 + u2 y2
Onde u1 e u2 são funções que a gente precisa encontrar. Para isso, usamos as seguintes equações:
u1' y1 + u2' y2 = 0
u1' y1' + u2' y2' = 11 + e^-x

Passo 15

Calculando as derivadas:
  • y1 = e^2x y1' = 2 e^2x
  • y2 = e^x y2' = e^x
Substituindo nas equações:
  1. u1' e^2x + u2' e^x = 0
  2. u1' cdot 2 e^2x + u2' e^x = 11 + e^-x

Passo 16

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2 e^2x u1' + e^x u2') - (e^2x u1' + e^x u2') = 11 + e^-x - 0
Isso simplifica para:
e^2x u1' = 11 + e^-x
Então:
u1' = 1e^2x(1 + e^-x) = 1e^2x + e^x = e^-x1 + e^-x

Passo 17

Agora, substituímos u1' na primeira equação para encontrar u2':
e^2x cdot e^-x1 + e^-x + e^x u2' = 0
Simplificando:
e^x1 + e^-x + e^x u2' = 0
Então:
e^x u2' = -e^x1 + e^-x Rightarrow u2' = -11 + e^-x

Passo 18

Agora, integramos u1' e u2' para encontrar u1 e u2:
u1 = integral e^-x1 + e^-x dx
Fazendo a substituição t = 1 + e^-x, dt = -e^-x dx:
u1 = -integral 1t dt = -ln|t| + C = -ln(1 + e^-x) + C
Por simplicidade, descartamos a constante C já que vamos multiplicar por y1 depois.
Para u2:
u2 = integral -11 + e^-x dx
Essa integral não tem uma antiderivada elementar simples, então vamos deixar a expressão em termos de funções conhecidas:
u2 = -integral 11 + e^-x dx = -ln(1 + e^x) + C

Passo 19

Agora, substituímos u1 e u2 na expressão de yp2:
yp2 = u1 y1 + u2 y2 = -ln(1 + e^-x) e^2x - ln(1 + e^x) e^x

Passo 20

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
y = yh + yp1 + yp2 = C1 e^2x + C2 e^x + ( 18 x^2 - 132 x ) e^2x - ln(1 + e^-x) e^2x - ln(1 + e^x) e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^x + ( 18 x^2 - 132 x ) e^2x - ln(1 + e^-x) e^2x - ln(1 + e^x) e^x
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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