Seja a equação diferencial
Leve a cabo suas ideias e resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta é pra resolver a seguinte equação diferencial:
Então, o conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para o lado direito não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para resolver isso, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com esses valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes porque o lado direito é a soma de duas funções diferentes. Ou seja:
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a solução particular para o termo
.
Como o termo é da forma polinomial vezes exponencial, tentamos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes que a gente vai determinar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Então, temos:
Para isso ser verdade para todo
, precisamos que:
Mas isso não faz sentido, porque
é uma constante. Isso significa que nossa suposição inicial para
está “colidindo” com a solução homogênea. Para evitar isso, a gente multiplica por
a suposição inicial:
Passo 9
Vamos recalcular as derivadas com a nova suposição:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 10
Substituímos de novo na equação diferencial:
Simplificando termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Agrupando:
Calculando cada parte:
-
: -
: - Constante:
Então:
Para que isso seja igual a
para todo
, precisamos que:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
-
→ -
→ → →
Então, nossa solução particular para o primeiro termo é:
Passo 12
Agora, vamos encontrar a solução particular para o segundo termo do lado direito:
.
Esse termo é a função logística, que não se encaixa facilmente nas técnicas padrão como coeficientes a determinar. Por isso, vamos usar o método da Variação dos Parâmetros.
Passo 13
Primeiro, precisamos das soluções da equação homogênea, que já encontramos:
Vamos chamar
e
. Essas são as soluções independentes.
Passo 14
Usando a variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
Onde
e
são funções que a gente precisa encontrar. Para isso, usamos as seguintes equações:
Passo 15
Calculando as derivadas:
-
→ -
→
Substituindo nas equações:
Passo 16
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:
Então:
Passo 17
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Simplificando:
Então:
Passo 18
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Fazendo a substituição
,
:
Por simplicidade, descartamos a constante
já que vamos multiplicar por
depois.
Para
:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar simples, então vamos deixar a expressão em termos de funções conhecidas:
Passo 19
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Passo 20
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.