Seja a equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+y=4 x^2-3+x^-1 e^x
Discuta como podem ser combinados os métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

Nesse exercício temos a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes y'' - 2y' + y = 4x^2 - 3 + x^-1e^x. Vamos combinar o método de coeficientes a determinar para a parte polinomial e variação de parâmetros para o termo x^-1e^x.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y'' - 2y' + y = 0. A equação característica r^2 - 2r + 1 = 0 tem raiz dupla r=1, logo a solução homogênea é yh = (C1 + C2 x)e^x.

Passo 3

Para a parte polinomial 4x^2 - 3 usamos coeficientes a determinar. Assumimos yp1 = Ax^2 + Bx + C. Substituindo em y'' - 2y' + y = 4x^2 -3 obtemos A = 4,; B - 4A = 0 Rightarrow B = 16,; 2A - 2B + C = -3 Rightarrow C = 21. Logo yp1 = 4x^2 + 16x + 21.

Passo 4

Para o termo x^-1e^x usamos variação de parâmetros. A base de soluções homogêneas é y1 = e^x, y2 = x e^x e o Wronskiano é W = e^x(e^x + x e^x) - x e^x ,e^x = e^2x. As fórmulas são
u1' = -y2 fW, ; u2' = y1 fW com f = x^-1e^x. Logo u1' = -1,; u2' = 1/x. Integrando, u1 = -x e u2 = ln|x|. Então
yp2 = u1 y1 + u2 y2 = -x e^x + x ln|x|,e^x = (x ln|x| - x)e^x

Passo 5

Por fim, somamos yh, yp1 e yp2 para obter a solução geral.

Resposta

y = (C1 + C2 x)e^x + 4x^2 + 16x + 21 + (x ln|x| - x)e^x

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