Seja a equação diferencial
Discuta como podem ser combinados os métodos dos coeficientes a determinar e de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Nesse exercício temos a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
. Vamos combinar o método de coeficientes a determinar para a parte polinomial e variação de parâmetros para o termo
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
. A equação característica
tem raiz dupla
, logo a solução homogênea é
.
Passo 3
Para a parte polinomial
usamos coeficientes a determinar. Assumimos
. Substituindo em
obtemos
. Logo
.
Passo 4
Para o termo
usamos variação de parâmetros. A base de soluções homogêneas é
,
e o Wronskiano é
. As fórmulas são
com
. Logo
. Integrando,
e
. Então
Passo 5
Por fim, somamos
,
e
para obter a solução geral.