Seja a equação
A x^2+B x y+C y^2=0,
onde B^2-4 A C>0. Provar que a equação representa um par de retas perpendiculares.

Passo 1

O enunciado considera a curva homogênea
A x^2 + B x y + C y^2 = 0
com a única condição B^2-4AC>0. Sabemos da teoria de cônicas que essa desigualdade garante que a equação se fatorará em duas retas reais e distintas que passam pela origem.

Passo 2

Para que essas duas retas sejam perpendiculares, basta ver que, se escrevermos y=m x, os coeficientes m satisfazem
C,m^2 + B,m + A = 0,
cuja soma e produto de raízes são
m1 + m2 = -BC, m1m2 = AC
Retas perpendiculares exigem m1m2=-1, ou seja
AC = -1 Long<=ftrightarrow A + C = 0
Perceba que a única condição que aparece para perpendicularidade é A+C=0, e não B^2-4AC>0.

Resposta

Não é possível provar que sejam retas perpendiculares apenas com B^2-4AC>0, pois essa condição assegura só que as retas são reais e distintas. Falta a hipótese A+C=0 para garantir que elas sejam perpendiculares.

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