Encontre a equação e os elementos principais da hipérbole que passa pelo ponto
e tem os eixos coordenados como assintotas.
Passo 1
O enunciado pede a hipérbole cujas assíntotas são as retas
e
(os eixos coordenados) e que passa pelo ponto
. Vamos usar a forma geral de uma hipérbole com essas assíntotas, determinar a constante usando
e depois, por rotação de eixos, extrair centro, semieixos, vértices, focos e excentricidade.
Passo 2
Uma hipérbole com assíntotas
e
pode ser escrita como
Substituindo o ponto
obtemos
Logo a equação é
Passo 3
O centro da hipérbole é a interseção das assíntotas, ou seja,
. Para achar semieixos e focos fazemos a rotação de
definindo
Neste sistema, nota-se que
de modo que a equação vira
que é a forma padrão de hipérbole com
Passo 4
Da forma
extraímos os semieixos
A excentricidade satisfaz
logo
Passo 5
Os vértices no sistema
estão em
. Voltando a
:
Como
tem ramos nos quadrantes I e III, os vértices são
Passo 6
Os focos no sistema
são
. Convertendo:
Tomando os quadrantes I e III, os focos são
Resposta
Equação:
.
Centro: .
Assíntotas: e
.
Semieixos: .
Vértices: e
.
Focos: e
.
Excentricidade: .
Centro:
Assíntotas:
Semieixos:
Vértices:
Focos:
Excentricidade: