Encontre a equação e os elementos principais da hipérbole que passa pelo ponto Q=(-1,-5) e tem os eixos coordenados como assintotas.

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole cujas assíntotas são as retas x=0 e y=0 (os eixos coordenados) e que passa pelo ponto Q=(-1,-5). Vamos usar a forma geral de uma hipérbole com essas assíntotas, determinar a constante usando Q e depois, por rotação de eixos, extrair centro, semieixos, vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Uma hipérbole com assíntotas x=0 e y=0 pode ser escrita como
xy = k
Substituindo o ponto Q=(-1,-5) obtemos
(-1)cdot(-5)=kLongrightarrow k=5
Logo a equação é
xy = 5

Passo 3

O centro da hipérbole é a interseção das assíntotas, ou seja, (0,0). Para achar semieixos e focos fazemos a rotação de 45^circ definindo
u = x+yraiz2, v = x-yraiz2
Neste sistema, nota-se que
xy = u^2 - v^22,
de modo que a equação vira
u^2 - v^2 = 10,
que é a forma padrão de hipérbole com
a^2 = 10, b^2 = 10

Passo 4

Da forma u^2 - v^2 = a^2 - b^2 extraímos os semieixos
a = raiz10, b = raiz10
A excentricidade satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 = 20, c = 2raiz5,
logo
e = ca = 2raiz5raiz10 = raiz2

Passo 5

Os vértices no sistema (u,v) estão em (pm a,0). Voltando a (x,y):
(x,y)=l(pm araiz2,,pm araiz2r) =(pmraiz5,pmraiz5)
Como xy=5>0 tem ramos nos quadrantes I e III, os vértices são
(raiz5,raiz5) e (-raiz5,-raiz5)

Passo 6

Os focos no sistema (u,v) são (pm c,0). Convertendo:
(x,y)=l(pm craiz2,,pm craiz2r) =(pmraiz10,pmraiz10)
Tomando os quadrantes I e III, os focos são
(raiz10,raiz10) e (-raiz10,-raiz10)

Resposta

Equação: xy=5.
Centro: (0,0).
Assíntotas: x=0 e y=0.
Semieixos: a=b=raiz10.
Vértices: (raiz5,raiz5) e (-raiz5,-raiz5).
Focos: (raiz10,raiz10) e (-raiz10,-raiz10).
Excentricidade: raiz2.

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