Quando A e B são números reais, é comum o uso do seguinte raciocínio:
Se A^2=B^2, então A=B ou A=-B.
Verifique que este raciocínio não é válido caso A e B sejam matrizes, fornecendo um contraexemplo que utilize duas das matrizes a seguir (se possível):
P=[cc -9 & 0 -19 & 10 ], Q=[cc 9 & 0 -1 & 10 ], R=[cc 9 & 0 19 & -10 ] e S=[cc 9 & 0 -1 & -10 ]
Com base em sua análise, A e B devem ser substitúdos por quais matrizes para que ocorra A^2=B^2 e, mesmo assim, tenha-se A neq B e A neq-B ?

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo em que duas matrizes A e B satisfaçam
A^2=B^2
porém não valha nem A=B nem A=-B. As matrizes disponíveis são
P=-9&0-19&10, Q=9&0-1&10, R=9&019&-10, S=9&0-1&-10
Vamos calcular os quadrados de P,Q,R,S e ver quais coincidem.

Passo 2

Calculemos Q^2. Como
Q=9&0-1&10,
temos
Q^2 =9&0-1&10 9&0-1&10 = 9cdot9+0cdot(-1) & 9cdot0+0cdot10[6pt] -1cdot9+10cdot(-1) & -1cdot0+10cdot10 =81&0-19&100 ]

Passo 3

Agora R^2. Como
R=9&019&-10,
segue
R^2 =9&019&-10 9&019&-10 = 9cdot9+0cdot19 & 9cdot0+0cdot(-10)[6pt] 19cdot9+(-10)cdot19 & 19cdot0+(-10)cdot(-10) =81&0-19&100
Portanto
Q^2=R^2 =81&0-19&100 ]

Passo 4

Verifiquemos agora que Qneq R e que também Qneq -R.
Q=9&0-1&10, R=9&019&-10, -,R=-9&0-19&10
Claramente Qneq R (o elemento (2,1) difere: -1neq19) e Qneq -R (o elemento (1,1) difere: 9neq -9).

Resposta

Podemos escolher
A=Q=9&0-1&10, B=R=9&019&-10
Então
A^2=B^2,
mas nem A=B nem A=-B.

Exercícios relacionados