Seja a equação
.
A equação define implicitamente uma função
numa vizinhança do ponto
determine o gradiente de
no ponto
.
A equação define implicitamente uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
, que define de forma implícita uma função
perto do ponto
. Nosso objetivo é encontrar o gradiente dessa função
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
Agora, para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos diferenciar essa equação em relação a
e
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Vamos diferenciar em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Reorganizando os termos:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo procedimento para diferenciar em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Reorganizando os termos:
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
. Primeiro, substituímos
,
, e
:
Para
:
Para
:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
.