Seja a equação x^2+z^3-z-x y sen(z)=1.
A equação define implicitamente uma função z=g(x, y) numa vizinhança do ponto (1,1,0) determine o gradiente de g no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x^2 + z^3 - z - xy sin(z) = 1, que define de forma implícita uma função z = g(x, y) perto do ponto (1, 1, 0). Nosso objetivo é encontrar o gradiente dessa função g no ponto (1, 1). Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
x^2 + z^3 - z - xy sin(z) - 1 = 0
Agora, para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, vamos diferenciar essa equação em relação a x e y, tratando z como uma função de x e y.

Passo 3

Vamos diferenciar em relação a x:
ddx(x^2 + z^3 - z - xy sin(z) - 1) = 0
Aplicando as regras de derivação:
2x + 3z^2 partial zpartial x - partial zpartial x - y sin(z) partial zpartial x - y sin(z) = 0
Reorganizando os termos:
(3z^2 - 1 - y sin(z)) partial zpartial x + 2x = 0

Passo 4

Agora, isolamos partial zpartial x:
partial zpartial x = -2x3z^2 - 1 - y sin(z)

Passo 5

Vamos fazer o mesmo procedimento para diferenciar em relação a y:
ddy(x^2 + z^3 - z - xy sin(z) - 1) = 0
Aplicando as regras de derivação:
0 + 3z^2 partial zpartial y - partial zpartial y - x sin(z) partial zpartial y - x sin(z) cos(z) partial zpartial y = 0
Reorganizando os termos:
(3z^2 - 1 - x sin(z) cos(z)) partial zpartial y - x sin(z) = 0

Passo 6

Isolamos partial zpartial y:
partial zpartial y = x sin(z)3z^2 - 1 - x sin(z) cos(z)

Passo 7

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 1, 0). Primeiro, substituímos x = 1, y = 1, e z = 0:
Para partial zpartial x:
partial zpartial x = -2(1)3(0)^2 - 1 - (1) sin(0) = -20 - 1 - 0 = -2-1 = 2
Para partial zpartial y:
partial zpartial y = 1 cdot sin(0)3(0)^2 - 1 - 1 cdot sin(0) cos(0) = 00 - 1 - 0 = 0

Resposta

O gradiente de g no ponto (1, 1) é nabla g(1, 1) = (2, 0).

Exercícios relacionados