Mostre que, para todo
, tem-se
e
Conclua que as funções cosseno e seno complexas não são limitadas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas desigualdades envolvendo
e
para todo
, e em seguida concluir que as funções trigonométricas complexas cosseno e seno não são limitadas. Vamos usar definições via exponencial complexa e propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Pelo teorema de Euler estendido ao plano complexo, temos as definições
Substituindo
com
obtemos fórmulas em termos de funções hiperbólicas.
Passo 3
Em primeiro lugar,
Como
, segue:
- Para a cota inferior, note que
, logo
- Para a cota superior, como
, temos
Isso demonstra
Passo 4
Agora, para o seno complexo,
Então
- Para a cota inferior, como
, segue
- Para a cota superior, observando
, obtemos
Isso estabelece
Passo 5
Como
quando
, ambas as funções
e
crescem sem limite. Portanto, as funções cosseno e seno complexas não são limitadas.
Resposta
As funções cosseno e seno no domínio complexo não são limitadas, pois para
seus valores crescem sem restrição, seguindo das desigualdades acima.