Mostre que, para todo y in R, tem-se
e^|y|2 <= cos (i y) <= e^|y|
e
e^|y|-12 <=|sin (i y)| <= e^|y|
Conclua que as funções cosseno e seno complexas não são limitadas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas desigualdades envolvendo cos(i y) e |sin(i y)| para todo yinR, e em seguida concluir que as funções trigonométricas complexas cosseno e seno não são limitadas. Vamos usar definições via exponencial complexa e propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Pelo teorema de Euler estendido ao plano complexo, temos as definições
cos(z)=e^iz+e^-iz2, sin(z)=e^iz-e^-iz2i
Substituindo z=iy com yinR obtemos fórmulas em termos de funções hiperbólicas.

Passo 3

Em primeiro lugar,
cos(i y)=e^i(i y)+e^-i(i y)2 =e^-y+e^y2 =cosh(y)
Como cosh(y)=tfrace^y+e^-y2=tfrace^|y|+e^-|y|2, segue:
  • Para a cota inferior, note que e^-|y|>=0, logo
cosh(y)>=e^|y|2
  • Para a cota superior, como e^-|y|<= e^|y|, temos
cosh(y)<=e^|y|+e^|y|2=e^|y|
Isso demonstra
e^|y|2<=cos(i y)<= e^|y|

Passo 4

Agora, para o seno complexo,
sin(i y)=e^i(i y)-e^-i(i y)2i =e^-y-e^y2i = i,e^y-e^-y2 = isinh(y)
Então
|sin(i y)|=|i|,|sinh(y)|=|sinh(y)| =|e^y-e^-y|2 =e^|y|-e^-|y|2
  • Para a cota inferior, como e^-|y|<=1, segue
|sinh(y)|>=e^|y|-12
  • Para a cota superior, observando -e^-|y|<= e^-|y|<= e^|y|, obtemos
|sinh(y)|<=e^|y|+e^|y|2=e^|y|
Isso estabelece
e^|y|-12<=|sin(i y)|<= e^|y|

Passo 5

Como e^|y|to+infty quando |y|to+infty, ambas as funções cos(i y) e |sin(i y)| crescem sem limite. Portanto, as funções cosseno e seno complexas não são limitadas.

Resposta

As funções cosseno e seno no domínio complexo não são limitadas, pois para ytoinfty seus valores crescem sem restrição, seguindo das desigualdades acima.

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