Seja a equação
.
A equação define implicitamente uma função
numa vizinhança do ponto
determine o gradiente de
no ponto
.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (
).
A equação define implicitamente uma função
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x^{2} + z^{3} - z - xy,\sin(z) = 1 $, e ela define uma função implícita $ z = g(x, y) $ perto do ponto
. Nosso objetivo é encontrar o gradiente de $ g $ nesse ponto e a equação do plano tangente ao gráfico de $ g $ nesse ponto. Para isso, vamos usar derivadas implícitas e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Calculando $ F_x $ em
:
- Calculando $ F_y $ em
:
- Calculando $ F_z $ em
:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula das derivadas parciais para funções implícitas:
Substituindo os valores que encontramos:
- Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
- Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 6
Então, o gradiente de $ g $ no ponto
é:
Passo 7
Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula geral:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O gradiente de $ g $ no ponto
é $ \nabla g(1, 1) = (1, 0) $.
A equação do plano tangente ao gráfico de $ g $ no ponto
é: