Seja a equação x^2+z^3-z-x y sen(z)=1.
A equação define implicitamente uma função z=g(x, y) numa vizinhança do ponto (1,1,0) determine o gradiente de g no ponto (1,1).
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto ( 1,1,0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x^{2} + z^{3} - z - xy,\sin(z) = 1 $, e ela define uma função implícita $ z = g(x, y) $ perto do ponto x^2 + z^3 - z - xy,sin(z) = 1 . Nosso objetivo é encontrar o gradiente de $ g $ nesse ponto e a equação do plano tangente ao gráfico de $ g $ nesse ponto. Para isso, vamos usar derivadas implícitas e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
F(x, y, z) = x^2 + z^3 - z - xy,sin(z) - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
F
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  • Derivada parcial em relação a $ z $:
y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 1, 0):
  • Calculando $ F_x $ em Fx :
(1, 1, 0)
  • Calculando $ F_y $ em Fx = 2(1) - 1 cdot sin(0) = 2 - 0 = 2 :
Fy
  • Calculando $ F_z $ em (1, 1, 0):
Fy = -1 cdot sin(0) = 0

Passo 5

Agora, usamos a fórmula das derivadas parciais para funções implícitas:
partial zpartial x = -FxFz
partial zpartial y = -FyFz
Substituindo os valores que encontramos:
  • Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x
  • Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial x = -2-2 = 1

Passo 6

Então, o gradiente de $ g $ no ponto g é:
(1, 1)

Passo 7

Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula geral:
z - z0 = partial zpartial x(x - x0) + partial zpartial y(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 0 = 1 cdot (x - 1) + 0 cdot (y - 1)
Simplificando:
z = x - 1

Resposta

O gradiente de $ g $ no ponto g é $ \nabla g(1, 1) = (1, 0) $.
A equação do plano tangente ao gráfico de $ g $ no ponto (1, 1) é:
nabla g(1, 1) = (1, 0)

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