Seja
e considere o subconjunto a semi-reta
de inclinação
partindo da origem
no sentido positivo. Mostre que a função
dada por
é descontínua em todos os pontos de
.
Passo 1
O exercício pede pra mostrar que o logaritmo complexo não é contínuo em nenhum ponto de uma semi-reta
que parte da origem com inclinação
. O conteúdo aqui é noções de continuidade em e comportamento do argumento principal (branch cut) do logaritmo.
Passo 2
A função logaritmo complexo é definida via módulo e argumento principal. A parte real
é contínua em , mas a parte imaginária tem um salto de
ao cruzar o ramo cortante
. Ou seja, há duas maneiras de aproximar um ponto de
em torno do ramo e obter valores diferentes de argumento.
Passo 3
Escolhemos um ponto qualquer
, com
. Aproximamos
por sequências que vêm do “lado de cima” e do “lado de baixo” da semi-reta:
- Do lado de cima:
com pequeno. - Do lado de baixo:
com pequeno.
Passo 4
Como
, temos
- Quando
de cima:
- Quando
Passo 5
Como os dois limites não coincidem (diferença de
), não existe um valor de
que seja limite único quando
.
Resposta
A função é descontínua em todo ponto de
, pois o argumento principal sofre um salto de
ao cruzar essa semi-reta (o ramo cortante).