Seja Phi in R e considere o subconjunto a semi-reta LPhi de inclinação Phi partindo da origem (0,0) no sentido positivo. Mostre que a função f: C backslash0 C dada por f(z)=log (z)=log (|z|)+iarg(z) é descontínua em todos os pontos de LPhi.

Passo 1

O exercício pede pra mostrar que o logaritmo complexo não é contínuo em nenhum ponto de uma semi-reta f(z)=log|z|+iArg(z) que parte da origem com inclinação LPhi. O conteúdo aqui é noções de continuidade em e comportamento do argumento principal (branch cut) do logaritmo.

Passo 2

A função logaritmo complexo é definida via módulo e argumento principal. A parte real log|z| é contínua em , mas a parte imaginária tem um salto de Csetminus0 ao cruzar o ramo cortante Arg(z). Ou seja, há duas maneiras de aproximar um ponto de 2pi em torno do ramo e obter valores diferentes de argumento.

Passo 3

Escolhemos um ponto qualquer z0in LPhi, com z0neq0. Aproximamos z0 por sequências que vêm do “lado de cima” e do “lado de baixo” da semi-reta:
  • Do lado de cima: zvarepsilon^+=z0e^i,varepsilon com varepsilon>0 pequeno.
  • Do lado de baixo: zvarepsilon^-=z0e^-i,varepsilon com varepsilon>0 pequeno.

Passo 4

Como |zvarepsilon^±|=|z0|, temos
  • Quando varepsilonto0^+ de cima:
limvarepsilonto0^+f(zvarepsilon^+)=log|z0|+i,Phi,
- Quando varepsilonto0^+ de baixo:
limvarepsilonto0^+f(zvarepsilon^-)=log|z0|+i,(Phi-2pi)

Passo 5

Como os dois limites não coincidem (diferença de 2pi i), não existe um valor de f(z) que seja limite único quando zto z0.

Resposta

A função é descontínua em todo ponto de f(z)=log|z|+iArg(z), pois o argumento principal sofre um salto de LPhi ao cruzar essa semi-reta (o ramo cortante).

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