A solução do problema de valor inicial
é chamada função de Bessel de ordem 0.
Resolva o problema de valor inicial para determinar uma expansão em série de potências da função de Bessel.
Resolva o problema de valor inicial para determinar uma expansão em série de potências da função de Bessel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema diferencial usando séries de potências. Basicamente, temos uma equação diferencial com condições iniciais:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais usando séries de potências. Para resolver, vamos precisar lembrar como expandir funções em séries de potências e como substituir essas séries na equação diferencial para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Para o segundo derivada:
- Para a primeira derivada:
- Para
:
Passo 6
Agora, juntamos todos os termos:
Para igualar a equação a zero para todo
, precisamos que os coeficientes de cada potência de
sejam iguais a zero.
Passo 7
Observamos que a primeira soma começa em
e a segunda em
. Para unificar os índices, reescrevemos a segunda soma de
a
(adicionando o termo para
, que será zero):
Passo 8
Agora, combinamos os termos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Para que isso seja verdade para todo
, cada coeficiente deve ser igual a zero:
Passo 10
Dessa relação de recorrência, isolamos
:
Isso nos permite expressar cada coeficiente
em termos de
.
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais:
-
implica que . -
implica que .
Passo 12
Com
e
, podemos encontrar os demais coeficientes usando a relação de recorrência
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 13
Notamos que apenas os coeficientes com índices pares (como
) são não nulos. Portanto, a solução em série fica:
Resposta
A expansão em série de potências da função de Bessel de ordem 0 é: