A solução do problema de valor inicial
x^2 y^prime prime+x y^prime+x^2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
é chamada função de Bessel de ordem 0.
Resolva o problema de valor inicial para determinar uma expansão em série de potências da função de Bessel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema diferencial usando séries de potências. Basicamente, temos uma equação diferencial com condições iniciais:
x^2 y'' + x y' + x^2 y = 0 y(0)=1 y'(0)=0
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais usando séries de potências. Para resolver, vamos precisar lembrar como expandir funções em séries de potências e como substituir essas séries na equação diferencial para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 . A primeira derivada é:
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos x^2 ( sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 ) + x ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) + x^2 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0 , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Para o segundo derivada:
x^2 y'' = sumn=2^infty n (n-1) an x^n
  1. Para a primeira derivada:
x y' = sumn=1^infty n an x^n
  1. Para x^2 y = sumn=0^infty an x^n+2 = sumn=2^infty an-2 x^n :

Passo 6

Agora, juntamos todos os termos:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n + sumn=1^infty n an x^n + sumn=2^infty an-2 x^n = 0
Para igualar a equação a zero para todo , precisamos que os coeficientes de cada potência de sejam iguais a zero.

Passo 7

Observamos que a primeira soma começa em sumn=0^infty n an x^n + sumn=2^infty n (n-1) an x^n + sumn=2^infty an-2 x^n = 0 e a segunda em . Para unificar os índices, reescrevemos a segunda soma de a (adicionando o termo para , que será zero):

Passo 8

Agora, combinamos os termos:
sumn=0^infty [n an + n (n-1) an + an-2] x^n = 0
Simplificando os coeficientes:
sumn=0^infty [n^2 an + an-2] x^n = 0

Passo 9

Para que isso seja verdade para todo n^2 an + an-2 = 0 para todo n >= 0 , cada coeficiente deve ser igual a zero:

Passo 10

Dessa relação de recorrência, isolamos an = -an-2n^2 :
Isso nos permite expressar cada coeficiente em termos de .

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais:
  1. implica que .
  2. implica que .

Passo 12

Com a2 = -a02^2 = -14 e a3 = -a13^2 = 0 , podemos encontrar os demais coeficientes usando a relação de recorrência a4 = -a24^2 = --1/416 = 164 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 13

Notamos que apenas os coeficientes com índices pares (como y(x) = a0 + a2 x^2 + a4 x^4 + cdots = 1 - x^24 + x^464 - cdots ) são não nulos. Portanto, a solução em série fica:

Resposta

A expansão em série de potências da função de Bessel de ordem 0 é:
y(x) = 1 - x^24 + x^464 - x^62304 + cdots

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