Verifique que a função
é uma solução das equações diferenciais
e
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo que precisamos é derivadas parciais de primeira e segunda ordem, usando regra da cadeia e propriedades de logaritmo e exponencial.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para
:
De modo análogo,
Passo 3
Agora somamos essas derivadas para verificar a primeira equação:
Logo a primeira equação
está satisfeita.
Passo 4
Em seguida, calculamos as segundas derivadas. Seja
Então:
Passo 5
Agora verificamos a segunda equação típica do determinante Hessiano:
Portanto, a função satisfaz essa condição de segunda ordem.
Resposta
A função z=\ln(ex+ey) satisfaz ambas as equações diferenciais dadas.