Verifique que a função z=ln (e^x+e^y) é uma solução das equações diferenciais
partial zpartial x+partial zpartial y=1
e
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2-(partial^2 zpartial x partial y)^2=0

Passo 1

Temos a função z(x,y)=lnl(e^x+e^yr). O conteúdo que precisamos é derivadas parciais de primeira e segunda ordem, usando regra da cadeia e propriedades de logaritmo e exponencial.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para zx:
zx=partialpartial xlnl(e^x+e^yr) =1e^x+e^ycdot e^x =e^xe^x+e^y
De modo análogo,
zy=e^ye^x+e^y

Passo 3

Agora somamos essas derivadas para verificar a primeira equação:
zx+zy=e^xe^x+e^y+e^ye^x+e^y =e^x+e^ye^x+e^y=1
Logo a primeira equação zx+zy=1 está satisfeita.

Passo 4

Em seguida, calculamos as segundas derivadas. Seja
A=e^x e^y(e^x+e^y)^2
Então:
zxx=e^x e^y(e^x+e^y)^2=A,
zyy=e^x e^y(e^x+e^y)^2=A,
zxy=partialpartial yl(e^xe^x+e^yr) =-e^x e^y(e^x+e^y)^2=-A

Passo 5

Agora verificamos a segunda equação típica do determinante Hessiano:
zxx,zyy-l(zxyr)^2 =Acdot A-(-A)^2 =A^2-A^2=0
Portanto, a função satisfaz essa condição de segunda ordem.

Resposta

A função z=\ln(ex+ey) satisfaz ambas as equações diferenciais dadas.

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