Seja uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm que rola sem deslizar em um plano com inclinação de 30^circ. Sabendo que o momento de inércia de rotação em torno do centro da esfera maciça é I=2 M R^2 / 5, determine a aceleração angular (Solução: 61.25 rad / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera sólida que está rolando sem deslizar em um plano inclinado. A gente vai precisar entender de física do movimento rotacional e das leis de Newton aplicadas a esse tipo de movimento. Vamos usar a fórmula do momento de inércia fornecida: $ I = \frac{2}{5} M R^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Massa da esfera ($ M $): 5 kg
  • Raio da esfera ($ R $): 20 cm = 0,2 m
  • Ângulo de inclinação ($ \theta $): M
  • Momento de inércia ($ I $): $ \frac{2}{5} M R^{2} $

Passo 3

Para encontrar a aceleração angular ($ \alpha alpha ççáçã a $) e a aceleração angular estão relacionadas pela equação:
a

Passo 4

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotação, que diz que o torque ($ \tau tau éé I I çã \alpha $):
alpha

Passo 5

O torque que faz a esfera rolar vem da componente da força da gravidade que está puxando a esfera para baixo pelo plano inclinado. Essa força é:
F = M g sin(theta)
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade, aproximadamente g .

Passo 6

O torque é a força multiplicada pelo raio:
tau = F R = M g sin(theta) R

Passo 7

Agora, substituímos $ \tau $ e $ I $ na equação da segunda lei de Newton para rotação:
tau

Passo 8

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar $ M $ de ambos os lados:
M

Passo 9

Agora, vamos resolver para $ \alpha $:
alpha

Passo 10

Substituindo os valores:
alpha = 5 times 9,81 times sin(30^circ)2 times 0,2
Sabemos que $ \sin(30^{\circ}) = 0,5 $.

Passo 11

Calculando:
alpha = 5 times 9,81 times 0,50,4 = 24,5250,4 = 61,25 , rad/s^2

Resposta

A aceleração angular da esfera é de 61,25 , rad/s^2.

Exercícios relacionados