Seja uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm que rola sem deslizar em um plano com inclinação de
. Sabendo que o momento de inércia de rotação em torno do centro da esfera maciça é
, determine a aceleração angular (Solução:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera sólida que está rolando sem deslizar em um plano inclinado. A gente vai precisar entender de física do movimento rotacional e das leis de Newton aplicadas a esse tipo de movimento. Vamos usar a fórmula do momento de inércia fornecida: $ I = \frac{2}{5} M R^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Massa da esfera ($ M $): 5 kg
- Raio da esfera ($ R $): 20 cm = 0,2 m
- Ângulo de inclinação ($ \theta $):
- Momento de inércia ($ I $): $ \frac{2}{5} M R^{2} $
Passo 3
Para encontrar a aceleração angular ($ \alpha
a $) e a aceleração angular estão relacionadas pela equação:
Passo 4
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotação, que diz que o torque ($ \tau
I
\alpha $):
Passo 5
O torque que faz a esfera rolar vem da componente da força da gravidade que está puxando a esfera para baixo pelo plano inclinado. Essa força é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade, aproximadamente
.
Passo 6
O torque é a força multiplicada pelo raio:
Passo 7
Agora, substituímos $ \tau $ e $ I $ na equação da segunda lei de Newton para rotação:
Passo 8
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar $ M $ de ambos os lados:
Passo 9
Agora, vamos resolver para $ \alpha $:
Passo 10
Substituindo os valores:
Sabemos que $ \sin(30^{\circ}) = 0,5 $.
Passo 11
Calculando:
Resposta
A aceleração angular da esfera é de
.