Seja uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm que rola sem deslizar em um plano com inclinação de
. a) Supondo que a gravidade realize torque como se toda a massa da esfera estivesse localizada em sua extremidade, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida com massa de 5 kg e raio de 20 cm rolando sem deslizar em um plano inclinado de 30 graus. A matéria aqui envolve torque e mecânica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, forças em planos inclinados e o movimento de rotação sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o torque (
) é uma medida de como uma força faz algo girar em torno de um ponto. A fórmula geral do torque é:
onde:
-
é a força aplicada, -
é a distância do ponto de rotação até onde a força é aplicada, -
é o ângulo entre a força e a linha de ação.
Passo 3
No caso da esfera rolando no plano inclinado, a força que está causando o torque é a componente do peso da esfera que atua paralelamente ao plano inclinado. Essa força é igual a
, onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo de inclinação do plano.
Passo 4
Como a esfera está rolando sem deslizar, a força está sendo aplicada exatamente na borda da esfera, ou seja, a uma distância
(o raio da esfera) do ponto de rotação. Portanto, a distância
na fórmula do torque é igual a
.
Passo 5
Vamos agora substituir os valores na fórmula do torque:
Aqui,
, então simplificamos para:
Resposta
Assim, mostramos que o torque exercido pela gravidade na esfera é
.