Seja uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm que rola sem deslizar em um plano com inclinação de 30^circ. a) Supondo que a gravidade realize torque como se toda a massa da esfera estivesse localizada em sua extremidade, mostre que tau=(M g sin theta) R.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida com massa de 5 kg e raio de 20 cm rolando sem deslizar em um plano inclinado de 30 graus. A matéria aqui envolve torque e mecânica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, forças em planos inclinados e o movimento de rotação sem deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ( tau) é uma medida de como uma força faz algo girar em torno de um ponto. A fórmula geral do torque é:
tau = F times r times sin(phi)
onde:
  • F é a força aplicada,
  • r é a distância do ponto de rotação até onde a força é aplicada,
  • phi é o ângulo entre a força e a linha de ação.

Passo 3

No caso da esfera rolando no plano inclinado, a força que está causando o torque é a componente do peso da esfera que atua paralelamente ao plano inclinado. Essa força é igual a M g sin(theta), onde:
  • M é a massa da esfera,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • theta é o ângulo de inclinação do plano.

Passo 4

Como a esfera está rolando sem deslizar, a força está sendo aplicada exatamente na borda da esfera, ou seja, a uma distância R (o raio da esfera) do ponto de rotação. Portanto, a distância r na fórmula do torque é igual a R.

Passo 5

Vamos agora substituir os valores na fórmula do torque:
tau = (M g sin(theta)) times R times sin(90^circ)
Aqui, sin(90^circ) = 1, então simplificamos para:
tau = M g sin(theta) times R

Resposta

Assim, mostramos que o torque exercido pela gravidade na esfera é tau = (M g sin theta) R.

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