Seja uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm que rola sem deslizar em um plano com inclinação de
. Determine a aceleração linear da esfera. (Solução:
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm rolando sem deslizar por um plano inclinado de 30 graus. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração linear dela. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e mecânica clássica, especialmente as leis de Newton aplicadas a corpos em rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura mental da situação: imagine uma rampa inclinada a 30 graus e uma esfera rolando por ela sem deslizar. Quando a esfera rola, ela está tanto se movendo linearmente quanto girando. Precisamos considerar ambas as movimentações para encontrar a aceleração.
Passo 3
Vamos identificar as forças atuando na esfera:
- Peso §: atua para baixo, com intensidade
, onde . - Força Normal (N): perpendicular à rampa, contrabalança a componente do peso perpendicular à inclinação.
- Força de Atrito (f): na direção oposta ao movimento, mas como a esfera rola sem deslizar, essa força está relacionada ao torque que faz a esfera girar.
Passo 4
Vamos calcular as componentes do peso:
- Componente paralela à rampa:
- Componente perpendicular à rampa:
Onde
.
Passo 5
A força normal
equilibra a componente perpendicular do peso:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, a força que causa a aceleração é a componente paralela do peso menos a força de atrito:
Mas como a esfera está rolando sem deslizar, a força de atrito está relacionada ao torque e à aceleração angular.
Passo 7
O momento de inércia (I) de uma esfera sólida é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 8
A relação entre a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
) para rotação sem deslizamento é:
Também, o torque (
) causado pela força de atrito é:
Substituindo
na equação do torque:
Passo 9
Voltando à equação das forças:
Substituindo
da etapa anterior:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 11
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar novamente.
Usando:
No entanto, a solução correta é
. Vamos reavaliar nossos passos.
Passo 12
Revisando o momento de inércia:
Substituindo novamente na equação da aceleração:
Parece que a solução inicial dada está incorreta ou há uma confusão nos dados do exercício. Com os valores fornecidos, a aceleração linear calculada é
.
Resposta
A aceleração linear da esfera é de aproximadamente
.