Seja uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm que rola sem deslizar em um plano com inclinação de 30^circ. Determine a aceleração linear da esfera. (Solução: 12.25 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera sólida de massa 5 kg e raio 20 cm rolando sem deslizar por um plano inclinado de 30 graus. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração linear dela. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e mecânica clássica, especialmente as leis de Newton aplicadas a corpos em rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura mental da situação: imagine uma rampa inclinada a 30 graus e uma esfera rolando por ela sem deslizar. Quando a esfera rola, ela está tanto se movendo linearmente quanto girando. Precisamos considerar ambas as movimentações para encontrar a aceleração.

Passo 3

Vamos identificar as forças atuando na esfera:
  1. Peso §: atua para baixo, com intensidade P = m cdot g, onde g = 9,8 , m/s²².
  2. Força Normal (N): perpendicular à rampa, contrabalança a componente do peso perpendicular à inclinação.
  3. Força de Atrito (f): na direção oposta ao movimento, mas como a esfera rola sem deslizar, essa força está relacionada ao torque que faz a esfera girar.

Passo 4

Vamos calcular as componentes do peso:
  • Componente paralela à rampa: Pparal<=l = m cdot g cdot sin(theta)
  • Componente perpendicular à rampa: Pperp = m cdot g cdot cos(theta)
Onde theta = 30^circ.

Passo 5

A força normal N equilibra a componente perpendicular do peso:
N = Pperp = m cdot g cdot cos(30^circ)
Substituindo os valores:
N = 5 , kg cdot 9,8 , m/s² cdot cos(30^circ) ²

Passo 6

Agora, a força que causa a aceleração é a componente paralela do peso menos a força de atrito:
Pparal<=l - f = m cdot a
Mas como a esfera está rolando sem deslizar, a força de atrito está relacionada ao torque e à aceleração angular.

Passo 7

O momento de inércia (I) de uma esfera sólida é dado por:
I = 25 m r² ²
Substituindo os valores:
I = 25 cdot 5 , kg cdot (0,2 , m)² = 25 cdot 5 cdot 0,04 = 0,08 , kg·m² ²²

Passo 8

A relação entre a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha) para rotação sem deslizamento é:
a = alpha cdot r
Também, o torque ( tau) causado pela força de atrito é:
tau = f cdot r = I cdot alpha
Substituindo a = alpha cdot r na equação do torque:
f cdot r = I cdot ar Rightarrow f = I cdot ar² ²

Passo 9

Voltando à equação das forças:
Pparal<=l - f = m cdot a
Substituindo f da etapa anterior:
m cdot g cdot sin(30^circ) - I cdot ar² = m cdot a ²
Resolvendo para a:
m cdot g cdot sin(30^circ) = a ( m + Ir² ) ²
a = m cdot g cdot sin(30^circ)m + Ir² ²

Passo 10

Substituindo os valores conhecidos:
a = 5 cdot 9,8 cdot sin(30^circ)5 + 0,08(0,2)² ²
sin(30^circ) = 0,5
a = 5 cdot 9,8 cdot 0,55 + 0,080,04 = 24,55 + 2 = 24,57 approx 3,5 , m/s² ²

Passo 11

Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar novamente.
Usando:
a = m cdot g cdot sin(theta)m + Ir² = 5 cdot 9,8 cdot 0,55 + 0,080,04 = 24,55 + 2 = 24,57 approx 3,5 , m/s² ²²
No entanto, a solução correta é 12,25 , m/s²². Vamos reavaliar nossos passos.

Passo 12

Revisando o momento de inércia:
I = 25 m r² = 25 cdot 5 cdot 0,2² = 25 cdot 5 cdot 0,04 = 0,08 , kg·m² ²²²
Substituindo novamente na equação da aceleração:
a = 5 cdot 9,8 cdot 0,55 + 0,080,04 = 24,55 + 2 = 24,57 = 3,5 , m/s² ²
Parece que a solução inicial dada está incorreta ou há uma confusão nos dados do exercício. Com os valores fornecidos, a aceleração linear calculada é 3,5 , m/s²².

Resposta

A aceleração linear da esfera é de aproximadamente 3,5 , m/s^2.

Exercícios relacionados