Seja V o espaço linear real das matrizes reais de 2 times 2 de entradas ai j satisfazendo a11+a22=0, a12+a21= 0 , e considere as seguintes matrizes de V :
H=[cc 1 & 0 0 & -1 ], J=[cc 0 & 1 -1 & 0 ]
(a) Mostre que H e J são linearmente independentes. Determine a dimensão e indique uma base para V.
(b) Dada a transformação linear T: V V definida através das seguintes relações:
T(H)=J, T(J)=-H
determine a matriz que representa T em relação a uma base contendo H e J.
(c) Determine a característica e a dimensão do núcleo de T, e indique justificadamente se é invertível.
(d) Calcule todas as soluções U da equação linear T(U)=B onde B=[cca & b -b & -a].

Passo 1

O enunciado define
Vsubset M2(R) como o espaço das matrizes
a11&a12 a21&a22
com
,a11+a22=0 e a12+a21=0.
São dados
H=1&00&-1, J=0&1-1&0,
e pede-se em (a) provar que H,J são LI, achar dim V e uma base; em (b) a matriz de T na base H,J, em (c) o polinômio característico e dimker T e invertibilidade, e em (d) resolver T(U)=B para
B=a&b-b&-a

Passo 2

Para (a), suponha
alpha H+beta J=02times2
Isso dá
alpha1&00&-1 + beta0&1-1&0 = alpha & beta -beta & -alpha = 0&00&0
Comparando entradas segue alpha=0 e beta=0, logo H,J são linearmente independentes.
Uma matriz geral em V tem forma
U=x&y-y&-x = xH + yJ,
logo dim V=2 e H,J é base de V.

Passo 3

Para (b), na base B=H,J escrevemos
T(H)=J = 0cdot H +1cdot J, T(J)=-H = (-1)cdot H +0cdot J
Assim a matriz de T em B tem colunas os coeficientes:
[T]B = 0 & -1 1 & ;;0

Passo 4

Para (c), seja
A=[T]B=0&-11&0
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det-lambda&-11&-lambda =lambda^2+1
Como 0 não é raiz, ker T=0 e dimker T=0. Logo det A=1neq0, ou seja, T é invertível.

Passo 5

Para (d), escreva . Então
Queremos . Assim
Então

Resposta

(a) são LI; ; uma base é .
(b)
(c) polinômio característico ; ; é invertível.
(d)

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