Seja V um espaço linear de dimensão finita n, B=f1, ldots, fn uma sua base, e P: V V uma transformação linear invertível tal que para todo o i=1, ldots, n existe j(1 <= j <= n) tal que P(fi)=fj.
(a) Prove que para cada i=1, ldots, n existe um inteiro positivo ki, menor ou igual que n, tal que P^ki(fi)= fi.
(b) Prove que existe um inteiro k tal que P^k=I, e mostre através de um exemplo que k pode ter de ser tomado maior que n.
(c) Suponha agora que para algum m(1 <= m <= n) se tem P^j(fm) neq fm para j=1, ldots, n-1. Prove que nestas condições se tem P^n=I.
(d) Nas condições da alínea anterior, o que pode dizer quanto aos valores próprios de P ?

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial de dimensão finita n temos uma base B=f1,dots,fn e uma aplicação linear invertível P que permuta esses vetores, isto é, existe uma permutação sigmain Sn tal que
P(fi)=fsigma(i)
Vamos usar a teoria de permutações (círculos e ordem de uma permutação) para resolver cada item.

Passo 2

(a) Como sigma é uma permutação de n elementos, cada i pertence a algum ciclo de comprimento ki, com 1<= ki<= n. Num ciclo de comprimento ki tem-se sigma^ki(i)=i. Logo, aplicando P em potência ki sobre fi obtemos
P^ki(fi)=fsigma^ki(i)=fi,
e ki<= n.

Passo 3

(b) Seja
k=lcm(k1,k2,dots,kn)
Como cada ki divide k, temos sigma^k(i)=i para todo i, o que implica
P^k(fi)=fiforall i
Como isso vale em toda a base, P^k=I.

Passo 4

Exemplo para mostrar que pode ser necessário k>n: tome n=5 e a permutação
sigma=(1,2)(3,4,5). Os comprimentos dos ciclos são 2 e 3, portanto
k=lcm(2,3)=6>5=n

Passo 5

(c) Se existe um índice m tal que P^j(fm)neq fm para j=1,dots,n-1, isso significa que o ciclo de m sob sigma tem comprimento exato n. Logo sigma é um n-ciclo e sua ordem é n, ou seja,
P^n=I
e para todo j<n não temos P^j=I.

Passo 6

(d) Como P^n=I, o polinômio mínimo de P divide x^n-1. Logo todos os autovalores lambda de P satisfazem
lambda^n=1,
isto é, são raízes da unidade. Se o ciclo tiver comprimento exatamente n, o polinômio mínimo é x^n-1 e aparecem autovalores que são raízes primitivas de ordem n.

Resposta

(a) Cada i está em um ciclo de comprimento ki<= n, logo P^ki(fi)=fi.
(b) Tomando k=lcm(k1,dots,kn) temos P^k=I. Ex.: em n=5, com ciclos de comprimentos 2 e 3, k=6>5.
(c) Se um ciclo tem comprimento n então P^n=I.
(d) Os autovalores de P são raízes da unidade, e no caso de ciclo de comprimento n aparecem raízes primitivas de ordem n.

Exercícios relacionados