Seja
um espaço linear de dimensão finita
uma sua base, e
uma transformação linear invertível tal que para todo o
existe
tal que
.
(a) Prove que para cada
existe um inteiro positivo
, menor ou igual que
, tal que
.
(b) Prove que existe um inteiro
tal que
, e mostre através de um exemplo que
pode ter de ser tomado maior que
.
(c) Suponha agora que para algum
se tem
para
. Prove que nestas condições se tem
.
(d) Nas condições da alínea anterior, o que pode dizer quanto aos valores próprios de
?
(a) Prove que para cada
(b) Prove que existe um inteiro
(c) Suponha agora que para algum
(d) Nas condições da alínea anterior, o que pode dizer quanto aos valores próprios de
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial de dimensão finita
temos uma base
e uma aplicação linear invertível
que permuta esses vetores, isto é, existe uma permutação
tal que
Vamos usar a teoria de permutações (círculos e ordem de uma permutação) para resolver cada item.
Passo 2
(a) Como
é uma permutação de
elementos, cada
pertence a algum ciclo de comprimento
, com
. Num ciclo de comprimento
tem-se
. Logo, aplicando
em potência
sobre
obtemos
e
.
Passo 3
(b) Seja
Como cada
divide
, temos
para todo
, o que implica
Como isso vale em toda a base,
.
Passo 4
Exemplo para mostrar que pode ser necessário
: tome
e a permutação
. Os comprimentos dos ciclos são
e
, portanto
Passo 5
(c) Se existe um índice
tal que
para
, isso significa que o ciclo de
sob
tem comprimento exato
. Logo
é um
-ciclo e sua ordem é
, ou seja,
e para todo
não temos
.
Passo 6
(d) Como
, o polinômio mínimo de
divide
. Logo todos os autovalores
de
satisfazem
isto é, são raízes da unidade. Se o ciclo tiver comprimento exatamente
, o polinômio mínimo é
e aparecem autovalores que são raízes primitivas de ordem
.
Resposta
(a) Cada
está em um ciclo de comprimento
, logo
.
(b) Tomando temos
. Ex.: em
, com ciclos de comprimentos 2 e 3,
.
(c) Se um ciclo tem comprimento então
.
(d) Os autovalores de são raízes da unidade, e no caso de ciclo de comprimento
aparecem raízes primitivas de ordem
.
(b) Tomando
(c) Se um ciclo tem comprimento
(d) Os autovalores de