Seja V o espaço linear real das matrizes n times n com coeficientes reais.
(a) Mostre que lang<= A, Brang<==tr(A B^*) é um produto interno em V, onde tr é o traço e B^*=barB^t.
(b) Calcule lang<= A, Brang<= quando
A=[ll 1 & 0 0 & 3 ] B=[cc -3 & raiz2 cos (7 pi / 19) & 1 ]
(c) Determine uma base ortonormada para o espaço das matrizes 2 times 2 com traço nulo, em relação ao produto interno dado.
(d) Determine o subespaço ortogonal ao subespaço das matrizes diagonais.

Passo 1

O enunciado define como o espaço real das matrizes e propõe a forma bilinear
onde ; em coordenadas reais temos .
Precisamos:
  1. mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade estrita);
  2. calcular para duas matrizes dadas;
  3. encontrar uma base ortonormada para o subespaço das matrizes de traço zero;
  4. descrever o subespaço ortogonal ao das matrizes diagonais em .

Passo 2

Verificação das propriedades de produto interno:
A linearidade em cada argumento vem da linearidade da traço, pois
.
, e essa soma só é zero se todos , isto é, .

Passo 3

Para
temos .
Então

Passo 4

O espaço das matrizes de traço zero é
,
de dimensão 3. Um conjunto ortonormal relativamente a é dado por
De fato cada tem norma 1 e para .

Passo 5

O subespaço das matrizes diagonais é
.
Uma matriz é ortogonal a todo se
para todo vetor .
Isso força para todo .
Logo o complemento ortogonal é
isto é, todas as matrizes com diagonal nula.

Resposta

(a) é produto interno pois é bilinear, simétrico e para .
(b) .
(c) Uma base ortonormada do subespaço de traço zero em é
(d) O ortogonal ao conjunto das matrizes diagonais é o subespaço das matrizes com todos os elementos da diagonal iguais a zero.

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