Seja o espaço linear real das matrizes com coeficientes reais.
(a) Mostre que é um produto interno em , onde tr é o traço e .
(b) Calcule quando
(c) Determine uma base ortonormada para o espaço das matrizes 2 times 2 com traço nulo, em relação ao produto interno dado.
(d) Determine o subespaço ortogonal ao subespaço das matrizes diagonais.
Passo 1
O enunciado define como o espaço real das matrizes e propõe a forma bilinear
onde ; em coordenadas reais temos .
Precisamos:
mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade estrita);
calcular para duas matrizes dadas;
encontrar uma base ortonormada para o subespaço das matrizes de traço zero;
descrever o subespaço ortogonal ao das matrizes diagonais em .
Passo 2
Verificação das propriedades de produto interno:
A linearidade em cada argumento vem da linearidade da traço, pois
.
, e essa soma só é zero se todos , isto é, .
Passo 3
Para
temos .
Então
Passo 4
O espaço das matrizes de traço zero é
,
de dimensão 3. Um conjunto ortonormal relativamente a é dado por
De fato cada tem norma 1 e para .
Passo 5
O subespaço das matrizes diagonais é
.
Uma matriz é ortogonal a todo se
para todo vetor .
Isso força para todo .
Logo o complemento ortogonal é
isto é, todas as matrizes com diagonal nula.
Resposta
(a) é produto interno pois é bilinear, simétrico e para .
(b) .
(c) Uma base ortonormada do subespaço de traço zero em é
(d) O ortogonal ao conjunto das matrizes diagonais é o subespaço das matrizes com todos os elementos da diagonal iguais a zero.