(Operadores de Posto Finito) Um operador linear tem posto finito se sua imagem (que é sempre um subespaço vetorial) tem dimensão finita. Mostre que um operador linear de posto finito é contínuo se, e somente se, seu núcleo é fechado.
Sugestão: Um lado é direto. Para o outro, use o quociente do domínio do operador por seu núcleo.
Compare com o exercício 9 da lista 2. Observe que funcionais lineares têm posto finito.
Sugestão: Um lado é direto. Para o outro, use o quociente do domínio do operador por seu núcleo.
Compare com o exercício 9 da lista 2. Observe que funcionais lineares têm posto finito.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um operador linear
entre espaços normados cujo posto (dimensão da imagem) é finito, temos
O conteúdo envolve noções básicas de espaços de quociente e o fato de que toda aplicação linear em espaço de dimensão finita é contínua.
Passo 2
Suponha que
seja contínuo. Então
é fechado e, como
é contínuo, o núcleo
é pré-imagem de conjunto fechado, logo é fechado. Isso mostra o sentido “
”.
Passo 3
Agora suponha que
seja fechado e que
. Considere o espaço quociente
equipado com a topologia natural de quociente e a projeção contínua
Como
é fechado,
é contínua.
Passo 4
Defina o operador bem-posto
Para ver que
é linear e injetora note que
implica
e portanto
. Além disso,
tem dimensão finita (exato da sequência
), e em espaços de dimensão finita toda aplicação linear é contínua.
Passo 5
Já que
e
são contínuas, a composição
é contínua. Assim provamos o sentido “
”.
Resposta
Um operador linear de posto finito
é contínuo se, e somente se, seu núcleo
é fechado.omento