(Operadores de Posto Finito) Um operador linear tem posto finito se sua imagem (que é sempre um subespaço vetorial) tem dimensão finita. Mostre que um operador linear de posto finito é contínuo se, e somente se, seu núcleo é fechado.
Sugestão: Um lado é direto. Para o outro, use o quociente do domínio do operador por seu núcleo.
Compare com o exercício 9 da lista 2. Observe que funcionais lineares têm posto finito.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um operador linear T:Xto Y entre espaços normados cujo posto (dimensão da imagem) é finito, temos
T contínuo Long<=ftrightarrow ker T é fechado íé
O conteúdo envolve noções básicas de espaços de quociente e o fato de que toda aplicação linear em espaço de dimensão finita é contínua.

Passo 2

Suponha que T seja contínuo. Então 0subset Y é fechado e, como T é contínuo, o núcleo
ker T=T^-1(0)
é pré-imagem de conjunto fechado, logo é fechado. Isso mostra o sentido “ Rightarrow”.

Passo 3

Agora suponha que ker T seja fechado e que diml(imTr)<infty. Considere o espaço quociente X/ker T equipado com a topologia natural de quociente e a projeção contínua
pi:X;longrightarrow;X/ker T,pi(x)=[x]
Como ker T é fechado, pi é contínua.

Passo 4

Defina o operador bem-posto
widetilde T:X/ker T;longrightarrow;Y por widetilde Tl([x]r)=T(x)
Para ver que widetilde T é linear e injetora note que widetilde T([x])=0 implica T(x)=0 e portanto [x]=[0]. Além disso, X/ker TcongimT tem dimensão finita (exato da sequência 0toker Tto XtoimTto0), e em espaços de dimensão finita toda aplicação linear é contínua.

Passo 5

Já que pi e widetilde T são contínuas, a composição
T = widetilde Tcircpi
é contínua. Assim provamos o sentido “ Leftarrow”.

Resposta

Um operador linear de posto finito T:Xto Y é contínuo se, e somente se, seu núcleo ker T é fechado.omento

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