Seja
. Mostre que
é um subespaço fechado de
. Dê uma expressão mais simples para a norma quociente de
. Este quociente é isométrico a qual espaço conhecido? Explicite a isometria.
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço
equipado com a norma do supremo
e o subespaço
Precisamos mostrar que
é um subespaço fechado, obter uma fórmula simples para a norma quociente em
e reconhecer a que espaço familiar esse quociente é isométrico, dando a isometria explícita.
Passo 2
Primeiro,
é subespaço linear porque, se
e
, então para quaisquer escalares
vale
logo
. Além disso,
é precisamente o núcleo do funcional de avaliação em
,
Como
é linear e contínuo (porque
), seu núcleo
é um subespaço fechado.
Passo 3
Em alternativa direta, se
converge uniformemente para
, então
logo
e
. Isso prova que
é fechado na norma
.
Passo 4
A norma quociente em
é definida por
Passo 5
Para calcular
note que, para todo
,
pois
. Por outro lado, escolhendo
temos
e
Logo o ínfimo é atingido e
Passo 6
Definimos então o mapeamento
Esse
é linear, bijetivo (pois toda classe
é determinada por
) e satisfaz
Logo
é uma isometria de
sobre
com a norma usual
.
Resposta
M é um subespaço fechado de
. A norma quociente em
é
O espaço
é isométrico a
pela aplicação
que preserva as normas.