Seja M=f in C[0,1]: f(0)=0. Mostre que M é um subespaço fechado de C[0,1]. Dê uma expressão mais simples para a norma quociente de C[0,1] / M. Este quociente é isométrico a qual espaço conhecido? Explicite a isometria.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço C[0,1] equipado com a norma do supremo
|f|infty=supxin[0,1]|f(x)|,
e o subespaço
M=fin C[0,1]:f(0)=0
Precisamos mostrar que M é um subespaço fechado, obter uma fórmula simples para a norma quociente em C[0,1]/M e reconhecer a que espaço familiar esse quociente é isométrico, dando a isometria explícita.

Passo 2

Primeiro, M é subespaço linear porque, se f(0)=0 e g(0)=0, então para quaisquer escalares alpha,beta vale
(alpha f+beta g)(0)=alpha f(0)+beta g(0)=0,
logo alpha f+beta gin M. Além disso, M é precisamente o núcleo do funcional de avaliação em 0,
de<a0colon C[0,1]to R, de<a0(f)=f(0)
Como de<a0 é linear e contínuo (porque |f(0)|<=|f|infty), seu núcleo M é um subespaço fechado.

Passo 3

Em alternativa direta, se (fn)subset M converge uniformemente para fin C[0,1], então
|f(0)-0|=|f(0)-fn(0)|<=|f-fn|inftyto0,
logo f(0)=0 e fin M. Isso prova que M é fechado na norma |cdot|infty.

Passo 4

A norma quociente em C[0,1]/M é definida por
|f+M| =infgin M|f-g|infty

Passo 5

Para calcular infgin M|f-g|infty note que, para todo gin M,
|f-g|infty>= |(f-g)(0)|=|f(0)|,
pois g(0)=0. Por outro lado, escolhendo g(x)=f(x)-f(0) temos gin M e
|f-g|infty =|,f-(f-f(0))|infty =|,f(0),|infty =|f(0)|
Logo o ínfimo é atingido e
|f+M|=|f(0)|

Passo 6

Definimos então o mapeamento
Tcolon C[0,1]/M;longrightarrow; R, T(f+M)=f(0)
Esse T é linear, bijetivo (pois toda classe f+M é determinada por f(0)) e satisfaz
|T(f+M)|=|f(0)|=|f+M|
Logo T é uma isometria de C[0,1]/M sobre R com a norma usual |cdot|.

Resposta

M é um subespaço fechado de C[0,1]. A norma quociente em C[0,1]/M é
|f+M|=infgin M|f-g|infty=|f(0)|
O espaço C[0,1]/M é isométrico a R pela aplicação
T(f+M)=f(0),
que preserva as normas.

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