Mostre que qualquer espaço normado de dimensão finita é reflexivo.
Passo 1
Vamos provar que todo espaço normado de dimensão finita é reflexivo, ou seja, que a aplicação canônica
é sobrejetiva (além de linear e isométrica). Para isso precisaremos dos conceitos de dual , duplo dual , da injeção canônica e de um argumento de dimensão finita.
Passo 2
Definimos o dual como
e o duplo dual
A aplicação canônica
é linear por construção. Vamos mostrar que ela é isométrica, de modo a garantir injetividade.
Passo 3
Para cada temos
onde no último passo usamos o Teorema de Hahn–Banach que garante a existência de funcionais de norma 1 atingindo o supremo. Assim |J(x)|=|x|, logo J é isométrica e, portanto, injetiva.
Passo 4
Como dim X<infty, sabemos que
dim X^*=dim X e dim X^**=dim X^*=dim X
Pela teoria de espaços vetoriais, uma aplicação linear injetiva entre espaços de mesma dimensão finita é necessariamente sobrejetiva. Portanto, J é bijetiva.
Passo 5
Concluímos que J é um isomorfismo isométrico de X em X^** e, por definição, isto significa que X é reflexivo.
Resposta
Qualquer espaço normado de dimensão finita é reflexivo, pois a aplicação canônica Jcolon Xto X^** é isométrica e bijetiva.