Mostre que qualquer espaço normado de dimensão finita é reflexivo.

Passo 1

Vamos provar que todo espaço normado X de dimensão finita é reflexivo, ou seja, que a aplicação canônica
Jcolon X to X^**, J(x)(varphi)=varphi(x)
é sobrejetiva (além de linear e isométrica). Para isso precisaremos dos conceitos de dual X^*, duplo dual X^**, da injeção canônica J e de um argumento de dimensão finita.

Passo 2

Definimos o dual como
X^*=varphicolon XtoKmid varphi é linear e contínua, éí
e o duplo dual
X^**=(X^*)^*
A aplicação canônica
Jcolon Xto X^**, J(x)(varphi)=varphi(x)
é linear por construção. Vamos mostrar que ela é isométrica, de modo a garantir injetividade.

Passo 3

Para cada xin X temos
|J(x)|X^** =supsubstackvarphiin X^*|varphi|<=1 l|J(x)(varphi)r| =supsubstackvarphiin X^*|varphi|<=1 |varphi(x)| =|x|X,
onde no último passo usamos o Teorema de Hahn–Banach que garante a existência de funcionais de norma 1 atingindo o supremo. Assim |J(x)|=|x|, logo J é isométrica e, portanto, injetiva.

Passo 4

Como dim X<infty, sabemos que
dim X^*=dim X e dim X^**=dim X^*=dim X
Pela teoria de espaços vetoriais, uma aplicação linear injetiva entre espaços de mesma dimensão finita é necessariamente sobrejetiva. Portanto, J é bijetiva.

Passo 5

Concluímos que J é um isomorfismo isométrico de X em X^** e, por definição, isto significa que X é reflexivo.

Resposta

Qualquer espaço normado de dimensão finita é reflexivo, pois a aplicação canônica Jcolon Xto X^** é isométrica e bijetiva.

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