Seja T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear com matriz (em bases canônicas)
\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)
Encontre uma base para a imagem de T e use o Teorema do Núcleo e Imagem para determinar \operatorname{dim} \operatorname{Ker} T sem calcular explicitamente o núcleo.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz (em bases canônicas) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Pede-se:
  • Encontrar uma base para \operatorname{Im} T (imagem de T).
  • Usar o Teorema do Núcleo e Imagem (teorema da dimensão / rank–nullity) para determinar \dim\ker T sem calcular o núcleo explicitamente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz tem 3 linhas e 5 colunas (ou seja, domínio de dimensão 5 e contradomínio de dimensão 3).
  • Cada coluna de A é a imagem do vetor canônico correspondente em \mathbb{R}^{5}; portanto a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A (o column space).
  • Para encontrar uma base da imagem, basta identificar quais colunas de A são linearmente independentes e formam um conjunto gerador da coluna-espaço (usualmente determinamos isso por eliminação de Gauss para achar colunas-pivô).
  • O Teorema do Núcleo e Imagem afirma que, para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m},
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = n.

Passo 2

Estratégia de resolução (em linguagem simples):
  • Vou aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) na matriz A para descobrir o posto (rank) de A, ou seja \dim\operatorname{Im}T. As colunas correspondentes aos pivôs (colunas-pivô) formam uma base para a imagem (pegamos as colunas originais de A nessas posições).
  • Depois uso o teorema da dimensão para calcular \dim\ker T = 5 - \dim\operatorname{Im}T.
Vou explicar cada operação e o que significa: uma operação por linhas não altera a dependência linear entre colunas; portanto os pivôs que aparecerem na forma escalonada indicam quais colunas originais são independentes.

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss com explicações passo a passo.
Começo com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Faço a operação R_3 \leftarrow R_3 + R_1 (somar a primeira linha à terceira) para eliminar o -1 na posição (3,1):
R_3\leftarrow R_3+R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Agora elimino o 2 na posição (3,2) usando a linha 2: R_3\leftarrow R_3-2R_2:
R_3\leftarrow R_3-2R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & -1 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
Multiplico R_3 por -1 para simplificar: R_3\leftarrow -R_3,
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Agora uso R_3 para zerar o 1 na posição (2,3): R_2\leftarrow R_2-R_3,
R_2\leftarrow R_2-R_3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
E uso R_2 para zerar o 2 na posição (1,2): R_1\leftarrow R_1-2R_2,
R_1\leftarrow R_1-2R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Esta forma mostra claramente pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Não é necessário continuar até a forma reduzida completa para identificar os pivôs: já vemos que há exatamente três linhas não nulas e três pivôs.
Comentário didático curto: o número de pivôs (colunas-pivô) é o posto da matriz (rank). Aqui obtivemos 3 pivôs, então \operatorname{rank}(A)=3.

Passo 4

Interpretação dos resultados para a imagem.
  • Como as colunas-pivô são as colunas 1, 2 e 3, as colunas originais correspondentes em A formam uma base para o espaço coluna (imagem). As três primeiras colunas de A são:
\begin{aligned} c_1 &= \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad c_2 = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_3 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}. \end{aligned}
Portanto \{c_1,c_2,c_3\} é um conjunto gerador e linearmente independente para \operatorname{Im}T; isso significa que é uma base de \operatorname{Im}T.
  • Como \operatorname{rank}(A)=3 e o contradomínio \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, concluímos que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}. (Intuição: três vetores independentes em \mathbb{R}^{3} geram todo \mathbb{R}^{3}.)]

Passo 5

Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).
O teorema afirma que, para T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3},
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = 5.
Como \dim\operatorname{Im}T=\operatorname{rank}(A)=3, temos
\dim\ker T = 5-3 = 2.
Comentário motivacional curto: não precisei achar uma base explícita do núcleo; só usei que a soma das dimensões deve ser 5.

Resposta

Uma base para \operatorname{Im}T é
\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
\dim\ker T=2]

Exercícios relacionados