Encontre uma base para a imagem de T e use o Teorema do Núcleo e Imagem para determinar \operatorname{dim} \operatorname{Ker} T sem calcular explicitamente o núcleo.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz (em bases canônicas) é
Encontrar uma base para \operatorname{Im} T (imagem de T).
Usar o Teorema do Núcleo e Imagem (teorema da dimensão / rank–nullity) para determinar \dim\ker T sem calcular o núcleo explicitamente.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz tem 3 linhas e 5 colunas (ou seja, domínio de dimensão 5 e contradomínio de dimensão 3).
Cada coluna de A é a imagem do vetor canônico correspondente em \mathbb{R}^{5}; portanto a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A (o column space).
Para encontrar uma base da imagem, basta identificar quais colunas de A são linearmente independentes e formam um conjunto gerador da coluna-espaço (usualmente determinamos isso por eliminação de Gauss para achar colunas-pivô).
O Teorema do Núcleo e Imagem afirma que, para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m},
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = n.
Passo 2
Estratégia de resolução (em linguagem simples):
Vou aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) na matriz A para descobrir o posto (rank) de A, ou seja \dim\operatorname{Im}T. As colunas correspondentes aos pivôs (colunas-pivô) formam uma base para a imagem (pegamos as colunas originais de A nessas posições).
Depois uso o teorema da dimensão para calcular \dim\ker T = 5 - \dim\operatorname{Im}T.
Vou explicar cada operação e o que significa: uma operação por linhas não altera a dependência linear entre colunas; portanto os pivôs que aparecerem na forma escalonada indicam quais colunas originais são independentes.
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss com explicações passo a passo.
Esta forma mostra claramente pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Não é necessário continuar até a forma reduzida completa para identificar os pivôs: já vemos que há exatamente três linhas não nulas e três pivôs.
Comentário didático curto: o número de pivôs (colunas-pivô) é o posto da matriz (rank). Aqui obtivemos 3 pivôs, então \operatorname{rank}(A)=3.
Passo 4
Interpretação dos resultados para a imagem.
Como as colunas-pivô são as colunas 1, 2 e 3, as colunas originais correspondentes em A formam uma base para o espaço coluna (imagem). As três primeiras colunas de A são:
Portanto \{c_1,c_2,c_3\} é um conjunto gerador e linearmente independente para \operatorname{Im}T; isso significa que é uma base de \operatorname{Im}T.
Como \operatorname{rank}(A)=3 e o contradomínio \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, concluímos que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}. (Intuição: três vetores independentes em \mathbb{R}^{3} geram todo \mathbb{R}^{3}.)]
Passo 5
Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).
O teorema afirma que, para T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3},
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = 5.
Como \dim\operatorname{Im}T=\operatorname{rank}(A)=3, temos
\dim\ker T = 5-3 = 2.
Comentário motivacional curto: não precisei achar uma base explícita do núcleo; só usei que a soma das dimensões deve ser 5.