Seja ( M, d ) um espaço métrico. Mostre que
i) A função f:[0, infty[ R dada por f(x)=x1+x é uma função crescente.
ii) Mostre que a função tilded: M times M [0, infty[ dada por tilded(x, y)=d(x, y)1+d(x, y) é uma métrica para M.
iii) Mostre que dado r>0, existe tilder>0 tal que se tilded(x, y)<tilder, então d(x, y)<r. Inversamente, mostre que dado tilder>0, existe r>0 tal que se d(x, y)<r, então tilded(x, y)<tilder. Conclua que toda bola aberta de ( M, d ) contém uma bola aberta de (tildeM, tilded) e vice e versa.
iv) Mostre que A subset M é um aberto de ( M, d ) se, e somente se, A é um aberto de ( M, tilded ), ou seja, as métricas geram a mesma topologia.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço métrico (M,d) e define a aplicação
fcolon [0,infty[;longrightarrow;R, f(x)=x1+x,
bem como a nova distância
tilde dcolon Mtimes M;longrightarrow;[0,infty[, tilde d(x,y)=d(x,y)1+d(x,y)
O que vamos precisar é:
1. Mostrar que f é crescente (conteúdo: derivada de função de uma variável).
2. Verificar que tilde d satisfaz os axiomas de métrica (não-negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular), usando que f é crescente e subaditiva.
3. Relacionar bolas abertas em (M,d) e em (M,tilde d) para concluir que as topologias coincidem.

Passo 2

Prova de que f é crescente. Calculamos a derivada
f'(x) =(1+x)cdot1 - xcdot1(1+x)^2 =1(1+x)^2,
e como (1+x)^2>0 para todo x>=0, segue f'(x)>0. Portanto x1<x2implies f(x1)<f(x2), ou seja, f é estritamente crescente.

Passo 3

Verificação dos axiomas de métrica para tilde d.
1. Não-negatividade: como d(x,y)>=0, tem tilde d(x,y)=f(d(x,y))>= f(0)=0.
2. Identidade de indiscerníveis:
tilde d(x,y)=0iff f(d(x,y))=0iff d(x,y)=0iff x=y 3. Simetria: tilde d(x,y)=f(d(x,y))=f(d(y,x))=tilde d(y,x).
4. Desigualdade triangular: para qualquer x,y,zin M,
tilde d(x,z) = fl(d(x,z)r) <= fl(d(x,y)+d(y,z)r)
(pois d satisfaz a desigualdade triangular e f é crescente) e resta ver que
f(a+b);<=;f(a)+f(b), forall,a,b>=0
De fato,
f(a)+f(b)-f(a+b) =a1+a+b1+b-a+b1+a+b =ab(2+a+b)(1+a)(1+b)(1+a+b)>0,
logo f(a+b)<= f(a)+f(b). Assim
tilde d(x,z)<=tilde d(x,y)+tilde d(y,z), completando a prova de que tilde d é métrica.

Passo 4

Relação entre bolas de raio r em d e de raio tilde r em tilde d.
  • Dado r>0, defina
    tilde r = r1+r>0
    Se tilde d(x,y)<tilde r, então d(x,y)1+d(x,y)<r1+r Longrightarrow d(x,y)<r (uso da monotonicidade de f).
  • Dado tilde r>0, resolva tilde r = r1+r em r, obtendo
    r=tilde r1-tilde r.
    Então d(x,y)<r implica d(x,y)1+d(x,y)<r1+r=tilde r novamente por monotonicidade de f.
Logo, para todo xin M e todo r>0 tilde r>0 com
Bd(x,r);supset;Btilde d(x,tilde r),
e vice-versa, mostrando que as bolas abertas coindem.

Passo 5

Conclusão sobre abertos e topologia.
Como toda bola aberta em (M,d) contém uma bola aberta em (M,tilde d) e reciprocamente, um subconjunto Asubset M é aberto em (M,d) se, e somente se, é aberto em (M,tilde d). Assim ambas as métricas geram a mesma topologia.

Resposta

i) f'(x)=1/(1+x)^2>0, logo f é crescente.
ii) tilde d satisfaz não-negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e, usando f crescente e subaditiva, a desigualdade triangular, logo é métrica.
iii) Escolhendo tilde r = r/(1+r) ou r=tilde r/(1-tilde r) faz que tilde d(x,y)<tilde riff d(x,y)<r. Assim as bolas abertas se correspondem.
iv) Como as bolas abertas coincidem, os abertos em (M,d) são exatamente os abertos em (M,tilde d).

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