Seja (
) um espaço métrico. Mostre que
i) A função
dada por
é uma função crescente.
ii) Mostre que a função
dada por
é uma métrica para
.
iii) Mostre que dado
, existe
tal que se
, então
. Inversamente, mostre que dado
, existe
tal que se
, então
. Conclua que toda bola aberta de (
) contém uma bola aberta de
e vice e versa.
iv) Mostre que
é um aberto de (
) se, e somente se,
é um aberto de (
), ou seja, as métricas geram a mesma topologia.
i) A função
ii) Mostre que a função
iii) Mostre que dado
iv) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de um espaço métrico
e define a aplicação
bem como a nova distância
O que vamos precisar é:
. Mostrar que
é crescente (conteúdo: derivada de função de uma variável).
. Verificar que
satisfaz os axiomas de métrica (não-negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular), usando que
é crescente e subaditiva.
. Relacionar bolas abertas em
e em
para concluir que as topologias coincidem.
Passo 2
Prova de que
é crescente. Calculamos a derivada
e como
para todo
, segue
. Portanto
, ou seja,
é estritamente crescente.
Passo 3
Verificação dos axiomas de métrica para
.
. Não-negatividade: como
, tem
.
. Identidade de indiscerníveis:
. Simetria:
.
. Desigualdade triangular: para qualquer
,
(pois
satisfaz a desigualdade triangular e
é crescente) e resta ver que
De fato,
logo
. Assim
, completando a prova de que
é métrica.
Passo 4
Relação entre bolas de raio
em
e de raio
em
.
- Dado
, defina
Se, então (uso da monotonicidade de ). - Dado
, resolva em , obtendo
.
Entãoimplica novamente por monotonicidade de .
Logo, para todo
e todo
há
com
e vice-versa, mostrando que as bolas abertas coindem.
Passo 5
Conclusão sobre abertos e topologia.
Como toda bola aberta em contém uma bola aberta em
e reciprocamente, um subconjunto
é aberto em
se, e somente se, é aberto em
. Assim ambas as métricas geram a mesma topologia.
Como toda bola aberta em
Resposta
i)
, logo
é crescente.
ii) satisfaz não-negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e, usando
crescente e subaditiva, a desigualdade triangular, logo é métrica.
iii) Escolhendo ou
faz que
. Assim as bolas abertas se correspondem.
iv) Como as bolas abertas coincidem, os abertos em são exatamente os abertos em
.
ii)
iii) Escolhendo
iv) Como as bolas abertas coincidem, os abertos em