Seja (
) um espaço métrico. Um subconjunto
é um conjunto localmente fechado em
se para todo
, existe um aberto
de
que contém
tal que
é fechado em
. Mostre que
i)
é localmente fechado em
se, e somente se,
é um subconjunto fechado de algum aberto de
.
ii)
não é localmente fechado em
.
iii) Todo aberto
é localmente fechado em
.
iv) Se
, com
localmente fechado em
e
localmente fechado em
, então
é localmente fechado em
.
i)
ii)
iii) Todo aberto
iv) Se
Passo 1
O enunciado define que um subconjunto
é localmente fechado se, para cada
, existe um aberto
com
tal que
é fechado em
. Vamos provar os quatro itens:
-
é localmente fechado em se, e somente se, existe um aberto com e fechado em . -
não é localmente fechado em . - Todo aberto
é localmente fechado em . - Se
, com localmente fechado em e localmente fechado em , então é localmente fechado em .
Passo 2
(Prova de “
fechado em algum aberto
localmente fechado”)
Suponha que existe um aberto tal que
e
é fechado em
. Então, para cada
, basta tomar
. Como
é fechado em
, temos imediatamente que
é fechado em
. Logo
é localmente fechado em
.
Suponha que existe um aberto
Passo 3
(Prova da recíproca “
localmente fechado
existe aberto
com
e
fechado em
”)
Como é localmente fechado, para cada
existe um aberto
contendo
em que
é fechado em
. Defina
Como
Claro que
é aberto e
. Para ver que
é fechado em
, note que
Cada
é aberto em
(pois
é fechado em
), e portanto é aberto em
. Assim
é aberto em
, ou seja,
é fechado em
.
Passo 4
(Prova de ii)
não é localmente fechado em
)
Seja e tome qualquer intervalo aberto
contendo
. Então
não é fechado em
, pois todo aberto em
contém irracionais e, portanto, a fronteira de
em
não está toda em
. Logo não existe nenhum
que faça
fechado em
, isto é,
não é localmente fechado.
Seja
Passo 5
(Prova de iii) todo aberto
é localmente fechado)
Dado , basta escolher
. Então
Dado
é fechado em
porque o complementar de
em
é vazio, que é aberto. Assim
é localmente fechado em
.
Passo 6
(Prova de iv) hereditariedade para inclusão
)
Suponha localmente fechado em
e
localmente fechado em
. Dado
:
Suponha
- Como
é localmente fechado em , existe um aberto com e fechado em . - Como
é localmente fechado em , existe um aberto com e fechado em . Escreva com aberto.
Defina, que é aberto em e contém . Então
Sabemos que
é fechado em
e
é fechado em
. Logo
é fechado em
. Assim
é fechado em
, provando que
é localmente fechado em
.
Resposta
Demonstrei nos passos acima que os itens (i), (ii), (iii) e (iv) são verdadeiros.