Seja ( M, d ) um espaço métrico. Um subconjunto X subset M é um conjunto localmente fechado em M se para todo x in X, existe um aberto U de M que contém x tal que U cap X é fechado em U. Mostre que
i) X é localmente fechado em M se, e somente se, X é um subconjunto fechado de algum aberto de M.
ii) Q não é localmente fechado em R.
iii) Todo aberto A subset M é localmente fechado em M.
iv) Se S subset T subset M, com S localmente fechado em T e T localmente fechado em M, então S é localmente fechado em M.

Passo 1

O enunciado define que um subconjunto Xsubset M é localmente fechado se, para cada xin X, existe um aberto Uxsubset M com xin Ux tal que Uxcap X é fechado em Ux. Vamos provar os quatro itens:
  1. X é localmente fechado em M se, e somente se, existe um aberto Vsubset M com Xsubset V e X fechado em V.
  2. Q não é localmente fechado em R.
  3. Todo aberto Asubset M é localmente fechado em M.
  4. Se Ssubset Tsubset M, com S localmente fechado em T e T localmente fechado em M, então S é localmente fechado em M.

Passo 2

(Prova de “ X fechado em algum aberto implies X localmente fechado”)
Suponha que existe um aberto Vsubset M tal que Xsubset V e X é fechado em V. Então, para cada xin X, basta tomar Ux=V. Como X é fechado em V, temos imediatamente que Uxcap X=Vcap X=X é fechado em Ux. Logo X é localmente fechado em M.

Passo 3

(Prova da recíproca “ X localmente fechado implies existe aberto V com Xsubset V e X fechado em V”)
Como X é localmente fechado, para cada xin X existe um aberto Uxsubset M contendo x em que Uxcap X é fechado em Ux. Defina
V=cupxin XUx
Claro que V é aberto e Xsubset V. Para ver que X é fechado em V, note que
Vsetminus X =cupxin Xl(Uxsetminus (Uxcap X)r)
Cada Uxsetminus(Uxcap X) é aberto em Ux (pois Uxcap X é fechado em Ux), e portanto é aberto em V. Assim Vsetminus X é aberto em V, ou seja, X é fechado em V.

Passo 4

(Prova de ii) Q não é localmente fechado em R)
Seja qinQ e tome qualquer intervalo aberto UsubsetR contendo q. Então UcapQ não é fechado em U, pois todo aberto em R contém irracionais e, portanto, a fronteira de UcapQ em U não está toda em Q. Logo não existe nenhum U que faça UcapQ fechado em U, isto é, Q não é localmente fechado.

Passo 5

(Prova de iii) todo aberto Asubset M é localmente fechado)
Dado xin A, basta escolher Ux=A. Então
Uxcap A =A
é fechado em Ux porque o complementar de A em A é vazio, que é aberto. Assim A é localmente fechado em M.

Passo 6

(Prova de iv) hereditariedade para inclusão Ssubset Tsubset M)
Suponha S localmente fechado em T e T localmente fechado em M. Dado xin S:
  • Como T é localmente fechado em M, existe um aberto Usubset M com xin U e Ucap T fechado em U.
  • Como S é localmente fechado em T, existe um aberto Vsubset T com xin V e Vcap S fechado em V. Escreva V=U'cap T com U'subset M aberto.
    Defina W=Ucap U', que é aberto em M e contém x. Então
Wcap S =(Ucap U')cap S =l(Ucap Tr)capl(U'cap Sr)
Sabemos que Ucap T é fechado em U e U'cap S é fechado em U'. Logo (Ucap T)cap(U'cap S) é fechado em Ucap U'=W. Assim Wcap S é fechado em W, provando que S é localmente fechado em M.

Resposta

Demonstrei nos passos acima que os itens (i), (ii), (iii) e (iv) são verdadeiros.

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