Calcule as distâncias abaixo. Caso a distância seja zero, encontre as intersecções. d\left(\pi_{1}, \pi_{2}\right) onde \pi_{1}: x+y+z=4, \pi_{2}: 2 x+2 y+2 z=-7
Passo 1
O enunciado dá dois planos \pi_{1}:x+y+z=4 \pi_{2}:2x+2y+2z=-7
e pede a distância entre eles. Vamos usar o fato de que, se dois planos são paralelos, a distância é
d=\frac{\bigl|D_2-D_1\bigr|}{\|n\|},
onde n é um vetor normal comum e D_1,D_2 são os termos independentes na forma n\cdot x+D=0.
Passo 2
Identificamos os vetores normais:
n_1=(1,1,1),\quad n_2=(2,2,2)=2\,(1,1,1)=2\,n_1.
Como n_2 é múltiplo de n_1, os planos são paralelos distintos.
Passo 3
Escrevemos cada plano na forma n\cdot x + D=0 usando n=(1,1,1):
para \pi_1
x+y+z-4=0,\quad D_1=-4,
para \pi_2 dividimos por 2
x+y+z+\tfrac{7}{2}=0,\quad D_2=\tfrac{7}{2}.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da distância:
d =\frac{\bigl|D_2-D_1\bigr|}{\|n\|} =\frac{\bigl|\tfrac{7}{2}-(-4)\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} =\frac{\tfrac{7}{2}+4}{\sqrt{3}} =\frac{\tfrac{15}{2}}{\sqrt{3}} =\frac{15}{2\sqrt{3}} =\frac{5\sqrt{3}}{2}.