Seja
com o seguinte produto interno:
Mostre que relativamente a esse produto interno, o conjunto
é uma base ortogonal do
. Obtenha a partir de
uma base ortonormal.
Mostre que relativamente a esse produto interno, o conjunto
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
equipado com o produto interno
O conjunto dado é
. O que nos pedem:
- Mostrar que, relativamente a esse produto interno,
é uma base ortogonal de .\n - A partir de
, obter uma base ortonormal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais com norma segundo o produto interno dado).\n
Informações relevantes que temos: os dois vetores desão e . Tudo mais necessário (produto interno, cálculo de normas, condição de independência linear) será usado nas contas seguintes.
Passo 2
Definição útil (pequena aula): dois vetores
e
são ortogonais relativamente a um produto interno se
. A norma de um vetor
relativa a esse produto interno é
. Para formar uma base ortonormal a partir de vetores ortogonais, basta normalizar cada um (dividir pelo seu comprimento). Vou aplicar isso diretamente aos vetores de
.
Passo 3
Calcular o produto interno entre os vetores de
para verificar ortogonalidade. Tomo
e
. Pelo produto interno dado:
Faço as multiplicações:
e
. Somando,
Como
, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Mostrar que
é uma base (i.e., é constituída de vetores linearmente independentes e, em
, dois vetores linearmente independentes geram todo o espaço). Aqui temos dois vetores ortogonais e não nulos; explico por que isso implica independência: se
, tomar produto interno com
dá
. Como
(vetor não nulo), segue
. Analogamente
. Logo são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em
,
é uma base. Concluímos:
é uma base ortogonal de
.
Passo 5
Agora normalizar os vetores: primeiro calculo as normas (quadrado da norma usando o produto interno).
Para
:
Portanto
Para
:
Portanto
Passo 6
Construo os vetores unitários dividindo cada vetor pelo seu comprimento (isto é, normalização). Para
obtenho
Para
obtenho
Pequena verificação: como
, então
. E
,
por construção. Logo
é uma base ortonormal relativa ao produto interno dado.
Resposta
Uma base ortonormal obtida a partir de