Seja V=\mathbb{R}^{2} com o seguinte produto interno:
\left(x_{1}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)=2 x_{1} x_{2}+4 y_{1} y_{2}
Mostre que relativamente a esse produto interno, o conjunto A=\{(1,-1),(2,1)\} é uma base ortogonal do \mathbb{R}^{2}. Obtenha a partir de A uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} equipado com o produto interno
\left(x_{1}, y_{1}\right)\cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)=2x_{1}x_{2}+4y_{1}y_{2}.
O conjunto dado é A=\{(1,-1),(2,1)\}. O que nos pedem:
  1. Mostrar que, relativamente a esse produto interno, A é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{2}.\n
  2. A partir de A, obter uma base ortonormal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais com norma 1 segundo o produto interno dado).\n
    Informações relevantes que temos: os dois vetores de A são (1,-1) e (2,1). Tudo mais necessário (produto interno, cálculo de normas, condição de independência linear) será usado nas contas seguintes.

Passo 2

Definição útil (pequena aula): dois vetores u e v são ortogonais relativamente a um produto interno se \,u\cdot v=0. A norma de um vetor v relativa a esse produto interno é \|v\|=\sqrt{v\cdot v}. Para formar uma base ortonormal a partir de vetores ortogonais, basta normalizar cada um (dividir pelo seu comprimento). Vou aplicar isso diretamente aos vetores de A.

Passo 3

Calcular o produto interno entre os vetores de A para verificar ortogonalidade. Tomo u=(1,-1) e v=(2,1). Pelo produto interno dado:
u\cdot v = 2\cdot 1\cdot 2 + 4\cdot(-1)\cdot 1.
Faço as multiplicações: 2\cdot 1\cdot 2 = 4 e 4\cdot(-1)\cdot 1 = -4. Somando,
u\cdot v = 4 + (-4) = 0.
Como \,u\cdot v=0, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Mostrar que A é uma base (i.e., é constituída de vetores linearmente independentes e, em \mathbb{R}^{2}, dois vetores linearmente independentes geram todo o espaço). Aqui temos dois vetores ortogonais e não nulos; explico por que isso implica independência: se a u + b v = 0, tomar produto interno com u a(u\cdot u)+b(v\cdot u)=a\|u\|^{2}+b\cdot 0 =0. Como \|u\|^{2}>0 (vetor não nulo), segue a=0. Analogamente b=0. Logo são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em \mathbb{R}^{2}, A é uma base. Concluímos: A é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Agora normalizar os vetores: primeiro calculo as normas (quadrado da norma usando o produto interno).
Para u=(1,-1):
\|u\|^{2}=u\cdot u = 2\cdot 1\cdot 1 + 4\cdot(-1)\cdot(-1)=2+4=6.
Portanto
\|u\|=\sqrt{6}.
Para v=(2,1):
\|v\|^{2}=v\cdot v = 2\cdot 2\cdot 2 + 4\cdot 1\cdot 1=8+4=12.
Portanto
\|v\|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Passo 6

Construo os vetores unitários dividindo cada vetor pelo seu comprimento (isto é, normalização). Para u obtenho
e_{1}=\frac{u}{\|u\|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{6}}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
Para v obtenho
e_{2}=\frac{v}{\|v\|}=\frac{(2,1)}{2\sqrt{3}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{2\sqrt{3}}\right).
Pequena verificação: como u\cdot v=0, então e_{1}\cdot e_{2}=\frac{1}{\|u\|\|v\|}(u\cdot v)=0. E \|e_{1}\|=1, \|e_{2}\|=1 por construção. Logo \{e_{1},e_{2}\} é uma base ortonormal relativa ao produto interno dado.

Resposta

A é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{2}.\n
Uma base ortonormal obtida a partir de A é \left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}},-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right),\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)\right\}.

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