Seja V=M(2,2) o espaço vetorial Euclidiano com a operação de produto interno usual em V.
Calcule |\vec{u}|,|\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}|

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}| no espaço vetorial V=M(2,2) com o produto interno usual. As informações que o enunciado fornece são apenas:
V = M(2,2).
O enunciado NÃO fornece os vetores (matrizes) \vec{u} e \vec{v}. Portanto, no estado atual, não há valores numéricos ou entradas de \vec{u} e \vec{v} para calcular resultados numéricos específicos.

Passo 2

Vou explicar exatamente o que significa “produto interno usual” em M(2,2) e como a gente usa isso para obter normas. O produto interno usual entre duas matrizes A e B em M(2,2) é definido por
\langle A,B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{ij} = \operatorname{tr}(A^{T}B).
Explicando devagar: se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então \langle A,B\rangle = a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}. Isso é só somar produto por produto das entradas correspondentes — bem intuitivo.

Passo 3

A norma induzida por esse produto interno é definida por
|A| = \sqrt{\langle A,A\rangle}.
Isto é, para uma matriz A,
|A| = \sqrt{a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2}.
Comentário prático: a norma é a “raiz quadrada da soma dos quadrados das entradas” — igual a pensar em A como um vetor em \mathbb{R}^4.

Passo 4

Como calcular |\vec{u}+\vec{v}| em termos de \vec{u} e \vec{v}? Use a identidade algébrica padrão (lei do paralelogramo / expansão do quadrado):
|\vec{u}+\vec{v}|^{2} = \langle \vec{u}+\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},\vec{u}\rangle + 2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle + \langle \vec{v},\vec{v}\rangle.
Em termos de normas,
|\vec{u}+\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + 2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle + |\vec{v}|^{2},
e portanto
|\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{\,|\vec{u}|^{2} + 2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle + |\vec{v}|^{2}\,}.
Isso mostra que, para encontrar |\vec{u}+\vec{v}|, precisamos tanto das normas individuais quanto do produto interno \langle \vec{u},\vec{v}\rangle.

Passo 5

Mostro agora como expressar tudo em entradas, para que você saiba exatamente o que calcular na prova se te derem as matrizes \vec{u} e \vec{v}. Seja
\vec{u}=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} \\\ u_{21} & u_{22}\end{pmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}v_{11} & v_{12} \\\ v_{21} & v_{22}\end{pmatrix}.
Então:
|\vec{u}|=\sqrt{u_{11}^{2}+u_{12}^{2}+u_{21}^{2}+u_{22}^{2}},
|\vec{v}|=\sqrt{v_{11}^{2}+v_{12}^{2}+v_{21}^{2}+v_{22}^{2}},
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle = u_{11}v_{11}+u_{12}v_{12}+u_{21}v_{21}+u_{22}v_{22},
e finalmente
|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{u_{11}^{2}+u_{12}^{2}+u_{21}^{2}+u_{22}^{2} +2(u_{11}v_{11}+u_{12}v_{12}+u_{21}v_{21}+u_{22}v_{22}) +v_{11}^{2}+v_{12}^{2}+v_{21}^{2}+v_{22}^{2}}.
Na prova: copie as entradas, calcule as somas de quadrados para as normas e calcule a soma dos produtos correspondentes para o produto interno; daí aplica a fórmula acima.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo rápido (didático): tome
\vec{u}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
Calculemos passo a passo:
|\vec{u}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+4+0+1}=\sqrt{6}.
|\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+0+1+9}=\sqrt{14}.
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot 0 + 0\cdot 1 + (-1)\cdot 3 = 2 + 0 + 0 -3 = -1.
|\vec{u}+\vec{v}|^{2} = 6 + 2(-1) + 14 = 6 -2 +14 =18,
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|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Esse exemplo mostra exatamente as operações que você deve fazer: somas de quadrados e soma dos produtos correspondentes.

Passo 7

Conclusão prática para o enunciado que você mandou: sem as matrizes \vec{u} e \vec{v} especificadas, não é possível dar valores numéricos para |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}|. Se você me passar as entradas de \vec{u} e \vec{v} eu calculo passo a passo — e faço do jeito mastigado que você pediu, com cada conta explicada.

Resposta

Não é possível calcular |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}| pois \vec{u} e \vec{v} não foram especificados.

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