Seja V=M(2,2) o espaço vetorial Euclidiano com a operação de produto interno usual em V.
Calcule |\vec{u}|,|\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}|
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}| no espaço vetorial V=M(2,2) com o produto interno usual. As informações que o enunciado fornece são apenas:
V = M(2,2).
O enunciado NÃO fornece os vetores (matrizes) \vec{u} e \vec{v}. Portanto, no estado atual, não há valores numéricos ou entradas de \vec{u} e \vec{v} para calcular resultados numéricos específicos.
Passo 2
Vou explicar exatamente o que significa “produto interno usual” em M(2,2) e como a gente usa isso para obter normas. O produto interno usual entre duas matrizes A e B em M(2,2) é definido por
então \langle A,B\rangle = a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}. Isso é só somar produto por produto das entradas correspondentes — bem intuitivo.
Passo 3
A norma induzida por esse produto interno é definida por
|A| = \sqrt{\langle A,A\rangle}.
Isto é, para uma matriz A,
|A| = \sqrt{a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2}.
Comentário prático: a norma é a “raiz quadrada da soma dos quadrados das entradas” — igual a pensar em A como um vetor em \mathbb{R}^4.
Passo 4
Como calcular |\vec{u}+\vec{v}| em termos de \vec{u} e \vec{v}? Use a identidade algébrica padrão (lei do paralelogramo / expansão do quadrado):
Na prova: copie as entradas, calcule as somas de quadrados para as normas e calcule a soma dos produtos correspondentes para o produto interno; daí aplica a fórmula acima.
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo rápido (didático): tome
Esse exemplo mostra exatamente as operações que você deve fazer: somas de quadrados e soma dos produtos correspondentes.
Passo 7
Conclusão prática para o enunciado que você mandou: sem as matrizes \vec{u} e \vec{v} especificadas, não é possível dar valores numéricos para |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}|. Se você me passar as entradas de \vec{u} e \vec{v} eu calculo passo a passo — e faço do jeito mastigado que você pediu, com cada conta explicada.
Resposta
Não é possível calcular |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}+\vec{v}| pois \vec{u} e \vec{v} não foram especificados.