Desenhar
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedem para desenhar a função
. - Informações relevantes dadas:
- A função é composta: a parte interna é
e sobre ela aplica-se , depois um sinal negativo. - Não há restrição explícita no domínio (portanto considerar todos os reais).
- A função é composta: a parte interna é
Passo 2
Dominio e imagem (faixa de valores):
- O exponencial
está definido para todo . Logo o domínio é . - Sabendo que
para todo , então também. Portanto a imagem (intervalo de valores) é . - Conclusão prática para o desenho: o gráfico fica todo dentro da faixa horizontal entre
e .
Passo 3
Simetria da função:
- A função depende de
, isto é, usa apenas . - Funções de
são pares, isto é, . - Conclusão prática: o gráfico é simétrico em relação ao eixo
(eixo vertical). Basta desenhar para e refletir para .
Passo 4
Valor em pontos simples e aproximações úteis:
- Em
vale Marque esse ponto no esboço. - Em geral, os valores extremos possíveis são
e ; vamos descobrir onde ocorrem no Passo 6.
Passo 5
Comportamento quando
:
- Para
grande, é grande e cresce enormemente. O argumento do cosseno, , tende a . - O cosseno oscila entre
e à medida que seu argumento aumenta. Como o argumento aumenta muito rápido, as oscilações em ficam cada vez mais rápidas (mais “apertadas”) à medida que cresce. - Não existe limite de
quando ; a função oscila entre e com frequência crescente.
Passo 6
Derivada e pontos críticos (onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela):
- Vamos derivar passo a passo usando a regra da cadeia. Seja
. Então . - Derivada de
é , e aplicar a cadeia dá: - Agora
. Logo - Zeros de
(pontos críticos) ocorrem quando: Como sempre, restam duas possibilidades: -
. -
, ou seja para algum inteiro . Como , precisamos de . Assim
-
- Valores da função nesses pontos:
- Se
, então , logo Ou seja: - Para
ímpar ( ) obtemos → máximos locais (topos). - Para
par ( ) obtemos → mínimos locais (vales).
- Para
- Em
temos . Observando o sinal de próximo a zero: para pequeno, , então . Assim muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) em , o que indica que é um mínimo local (não global), com valor .
- Se
Passo 7
Posicionamento numérico de alguns pontos críticos úteis para o esboço:
- Para
(primeiro máximo): - Para
(primeiro mínimo com ): - Para
(próximo máximo): - Observe que os
correspondentes aumentam lentamente com (porque cresce devagar), mas entre eles a função completa ciclos cada vez mais rápido em quando cresce por causa do fator .
Passo 8
Como seria o esboço do gráfico — instruções passo a passo para desenhar à mão:
- Trace os eixos
e . Marque as horizontais e porque o gráfico ficará entre elas. - Por simetria, concentre-se em desenhar para
e depois reflita para . - Marque o ponto em
: . Indique que este é um mínimo local. - Marque os primeiros extremos para
: - Primeiro máximo em
com . - Primeiro mínimo em
com . - Próximo máximo em
com .
Coloque esses pontos e desenhe uma curva suave passando por eles.
- Primeiro máximo em
- Observe que para
crescendo mais, as oscilações entre e tornam-se muito mais frequentes (as cristas e vales ficam cada vez mais próximos em ). Represente isso apertando as oscilações conforme avança para a direita. - Reflita o ramo desenhado para
(mesma forma, simetria par). - Garanta suavidade: a função é contínua e infinitamente diferenciável, sem saltos.
Passo 9
Interpretações úteis para a prova e o desenho rápido:
- Lembre-se: embora a amplitude seja limitada (
), a frequência das oscilações em aumenta muito rapidamente por causa do . - Pontos de máximo absoluto locais ocorrem quando
(dando ); mínimos absolutos locais quando (dando ), com inteiro positivo. -
é um mínimo local com valor , mas não é mínimo global porque existem pontos com . - Para um rascunho rápido em prova: desenhe a faixa entre
e , marque , um máximo perto de , um mínimo perto de , e mostre as oscilações ficando mais densas para maiores; use simetria para completar o lado negativo.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo ).
Valor em :
(mínimo local).
Pontos críticos gerais: e
para
.
Extremos: para ímpar há máximos com
em
; para
par há mínimos com
em
.
Comportamento para : oscilações cada vez mais rápidas entre
e
(sem limite).
Imagem:
Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo
Valor em
Pontos críticos gerais:
Extremos: para
Comportamento para