Desenhar y=-\cos \left(e^{x^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedem para desenhar a função \,y=-\cos\bigl(e^{x^{2}}\bigr).
  • Informações relevantes dadas:
    • A função é composta: a parte interna é e^{x^{2}} e sobre ela aplica-se \cos, depois um sinal negativo.
    • Não há restrição explícita no domínio (portanto considerar todos os reais).

Passo 2

Dominio e imagem (faixa de valores):
  • O exponencial e^{x^{2}} está definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.
  • Sabendo que \cos(t)\in[-1,1] para todo t\in\mathbb{R}, então -\cos(t)\in[-1,1] também. Portanto a imagem (intervalo de valores) é \,[-1,1].
  • Conclusão prática para o desenho: o gráfico fica todo dentro da faixa horizontal entre y=-1 e y=1.

Passo 3

Simetria da função:
  • A função depende de x^{2}, isto é, \,y(x)=-\cos\bigl(e^{x^{2}}\bigr) usa apenas x^{2}.
  • Funções de x^{2} são pares, isto é, \,y(-x)=y(x).
  • Conclusão prática: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (eixo vertical). Basta desenhar para x\ge0 e refletir para x\le0.

Passo 4

Valor em pontos simples e aproximações úteis:
  • Em x=0 vale y(0) = -\cos\bigl(e^{0}\bigr) = -\cos(1) \approx -0{,}5403.Marque esse ponto \bigl(0,\,-\cos(1)\bigr) no esboço.
  • Em geral, os valores extremos possíveis são y=1 e y=-1; vamos descobrir onde ocorrem no Passo 6.

Passo 5

Comportamento quando |x|\to\infty:
  • Para |x| grande, x^{2} é grande e e^{x^{2}} cresce enormemente. O argumento do cosseno, u=e^{x^{2}}, tende a +\infty.
  • O cosseno oscila entre -1 e 1 à medida que seu argumento aumenta. Como o argumento aumenta muito rápido, as oscilações em x ficam cada vez mais rápidas (mais “apertadas”) à medida que |x| cresce.
  • Não existe limite de y quando |x|\to\infty; a função oscila entre -1 e 1 com frequência crescente.

Passo 6

Derivada e pontos críticos (onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela):
  • Vamos derivar passo a passo usando a regra da cadeia. Seja u(x)=e^{x^{2}}. Então y(x)=-\cos(u(x)).
  • Derivada de \cos é -\sin, e aplicar a cadeia dá: y'(x) = -\bigl(-\sin(u(x))\bigr)\,u'(x) = \sin\bigl(e^{x^{2}}\bigr)\cdot u'(x).
  • Agora u'(x) = \dfrac{d}{dx}e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\cdot 2x. Logo y'(x) = 2x\,e^{x^{2}}\,\sin\bigl(e^{x^{2}}\bigr).
  • Zeros de y' (pontos críticos) ocorrem quando: 2x\,e^{x^{2}}\,\sin\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=0.Como e^{x^{2}}>0 sempre, restam duas possibilidades:
    • x=0.
    • \sin\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=0, ou seja \,e^{x^{2}}=n\pi para algum inteiro n\in\mathbb{Z}. Como e^{x^{2}}>0, precisamos de n\ge1. Assim x = \pm\sqrt{\ln(n\pi)},\qquad n=1,2,3,\dots
  • Valores da função nesses pontos:
    • Se e^{x^{2}}=n\pi, então \cos(e^{x^{2}})=\cos(n\pi)=(-1)^{n}, logo y = -\cos(e^{x^{2}}) = -(-1)^{n} = (-1)^{n+1}.Ou seja:
      • Para n ímpar ( n=1,3,5,\dots) obtemos y=1 → máximos locais (topos).
      • Para n par ( n=2,4,6,\dots) obtemos y=-1 → mínimos locais (vales).
    • Em x=0 temos y(0)=-\cos(1)\approx-0{,}5403. Observando o sinal de y' próximo a zero: para x pequeno, \sin(e^{x^{2}})\approx\sin(1)>0, então y'(x)\approx 2x\sin(1). Assim y' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) em x=0, o que indica que x=0 é um mínimo local (não global), com valor -\cos(1).

Passo 7

Posicionamento numérico de alguns pontos críticos úteis para o esboço:
  • Para n=1 (primeiro máximo): x=\pm\sqrt{\ln(\pi)}\approx\pm\sqrt{1{,}1447}\approx\pm1{,}070, \qquad y=1.
  • Para n=2 (primeiro mínimo com y=-1): x=\pm\sqrt{\ln(2\pi)}\approx\pm\sqrt{1{,}8379}\approx\pm1{,}356, \qquad y=-1.
  • Para n=3 (próximo máximo): x=\pm\sqrt{\ln(3\pi)}\approx\pm1{,}498,\qquad y=1.
  • Observe que os x correspondentes aumentam lentamente com n (porque \sqrt{\ln(n\pi)} cresce devagar), mas entre eles a função completa ciclos cada vez mais rápido em x quando x cresce por causa do fator e^{x^{2}}.

Passo 8

Como seria o esboço do gráfico — instruções passo a passo para desenhar à mão:
  1. Trace os eixos x e y. Marque as horizontais y=1 e y=-1 porque o gráfico ficará entre elas.
  2. Por simetria, concentre-se em desenhar para x\ge0 e depois reflita para x\le0.
  3. Marque o ponto em x=0: \bigl(0,\,-\cos(1)\bigr)\approx(0,-0{,}5403). Indique que este é um mínimo local.
  4. Marque os primeiros extremos para x>0:
    • Primeiro máximo em x\approx1{,}07 com y=1.
    • Primeiro mínimo em x\approx1{,}356 com y=-1.
    • Próximo máximo em x\approx1{,}498 com y=1.
      Coloque esses pontos e desenhe uma curva suave passando por eles.
  5. Observe que para x crescendo mais, as oscilações entre -1 e 1 tornam-se muito mais frequentes (as cristas e vales ficam cada vez mais próximos em x). Represente isso apertando as oscilações conforme avança para a direita.
  6. Reflita o ramo desenhado para x<0 (mesma forma, simetria par).
  7. Garanta suavidade: a função é contínua e infinitamente diferenciável, sem saltos.

Passo 9

Interpretações úteis para a prova e o desenho rápido:
  • Lembre-se: embora a amplitude seja limitada ( [-1,1]), a frequência das oscilações em x aumenta muito rapidamente por causa do \,e^{x^{2}}.
  • Pontos de máximo absoluto locais ocorrem quando e^{x^{2}}=(2k+1)\pi (dando y=1); mínimos absolutos locais quando e^{x^{2}}=2k\pi (dando y=-1), com k inteiro positivo.
  • x=0 é um mínimo local com valor -\cos(1), mas não é mínimo global porque existem pontos com y=-1.
  • Para um rascunho rápido em prova: desenhe a faixa entre y=-1 e y=1, marque y(0), um máximo perto de x\approx1{,}07, um mínimo perto de x\approx1{,}36, e mostre as oscilações ficando mais densas para |x| maiores; use simetria para completar o lado negativo.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [-1,1].
Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo y).
Valor em 0: y(0)=-\cos(1)\approx-0{,}5403 (mínimo local).
Pontos críticos gerais: x=0 e x=\pm\sqrt{\ln(n\pi)} para n=1,2,3,\dots.
Extremos: para n ímpar há máximos com y=1 em x=\pm\sqrt{\ln((2k+1)\pi)}; para n par há mínimos com y=-1 em x=\pm\sqrt{\ln(2k\pi)}.
Comportamento para |x|\to\infty: oscilações cada vez mais rápidas entre -1 e 1 (sem limite).

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