Seja V=M(n, n) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Se B é uma matriz não-nula fixada em V, quais das seguintes transformações são lineares?
T(A)=B A-A B;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M(n,n) e uma matriz fixa não-nula B. Queremos verificar se a aplicação
Tcolon VtoV, T(A) = B A - A B
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear: verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos aditividade, isto é, T(A1 + A2) = T(A1) + T(A2).
T(A1 + A2) = B(A1+A2) - (A1+A2)B = BA1 + BA2 - A1B - A2B = (BA1 - A1B) + (BA2 - A2B) = T(A1) + T(A2)

Passo 3

Verificamos homogeneidade, isto é, T(c,A) = c,T(A) para todo escalar c.
T(c,A) = B(c,A) - (c,A)B = c,BA - c,AB = c,(BA - AB) = c,T(A)

Resposta

A transformação T(A) = B A - A B é linear.

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