Seja V=M(n, n) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Se B é uma matriz não-nula fixada em V, quais das seguintes transformações são lineares?
T(A)=A^t.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M(n,n) das matrizes quadradas de ordem n e a transformação
Tcolon VtoV, T(A)=A^t
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar que para quaisquer A,CinV e lambdainR valem
T(A+C)=T(A)+T(C) e T(lambdaA)=lambda,T(A)

Passo 2

Verificamos a aditividade:
T(A+C) =(A+C)^t =A^t+C^t =T(A)+T(C)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade:
T(lambdaA) =(lambdaA)^t =lambda,A^t =lambda,T(A)

Resposta

A transformação T(A)=A^t é linear.

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