Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
. Se
é uma matriz não-nula fixada em
, quais das seguintes transformações são lineares?
.
Passo 1
Temos o espaço vetorial
das matrizes quadradas de ordem
sobre um corpo (por exemplo,
). Foi dada uma matriz fixa não-nula
e definida a transformação
O conteúdo é testar se
é uma transformação linear, usando as propriedades de aditividade e homogeneidade que caracterizam mapas lineares.
Passo 2
Lembramos que uma aplicação
é linear se, e somente se, para todo
e todo escalar
, valem
-
, -
.
Um teste imediato e simples é verificar o que acontece em, o vetor (matriz) zero de .
Passo 3
Calculamos
. Pela definição,
Mas, se
fosse linear, deveríamos ter
. Como
por hipótese, conclui-se que essa condição falha.
Passo 4
Além disso, para reforçar, aplicamos aditividade:
que difere de
. Logo, nem a aditividade é satisfeita.
Resposta
A transformação
não é linear (é uma transformação afim).