Seja V=M(n, n) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Se B é uma matriz não-nula fixada em V, quais das seguintes transformações são lineares?
T(A)=B+A.

Passo 1

Temos o espaço vetorial V = M(n,n) das matrizes quadradas de ordem n sobre um corpo (por exemplo, R). Foi dada uma matriz fixa não-nula BinV e definida a transformação
Tcolon Vto V, T(A) = B + A
O conteúdo é testar se T é uma transformação linear, usando as propriedades de aditividade e homogeneidade que caracterizam mapas lineares.

Passo 2

Lembramos que uma aplicação Tcolon Vto V é linear se, e somente se, para todo A,CinV e todo escalar c, valem
  1. T(A + C) = T(A) + T(C),
  2. T(c,A) = c,T(A).
    Um teste imediato e simples é verificar o que acontece em 0, o vetor (matriz) zero de V.

Passo 3

Calculamos T(0). Pela definição,
T(0) = B + 0 = B
Mas, se T fosse linear, deveríamos ter T(0) = 0. Como Bneq 0 por hipótese, conclui-se que essa condição falha.

Passo 4

Além disso, para reforçar, aplicamos aditividade:
T(A + C) = B + (A + C) = (B + A) + C = T(A) + C,
que difere de T(A) + T(C) = (B + A) + (B + C). Logo, nem a aditividade é satisfeita.

Resposta

A transformação T(A) = B + A não é linear (é uma transformação afim).

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