Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma transformação específica é linear. Estamos falando do conteúdo de Álgebra Linear, justamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar as suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas regras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Além disso, uma transformação linear deve satisfazer que
, ou seja, o vetor zero do espaço de chegada.
Passo 3
Vamos analisar a transformação dada:
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o vetor zero. Se substituirmos
,
e
, temos:
Mas, para ser uma transformação linear, deveria ser:
Como
, já sabemos que essa transformação não é linear.
Resposta
A transformação
não é linear porque não satisfaz a condição que o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.