Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x-1, y+z);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma transformação específica é linear. Estamos falando do conteúdo de Álgebra Linear, justamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar as suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação T: V W entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas regras:
  1. Adição de Vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u)
Além disso, uma transformação linear deve satisfazer que T(0) = 0 , ou seja, o vetor zero do espaço de chegada.

Passo 3

Vamos analisar a transformação dada:
T: R^3 R^2, T(x, y, z) = (x - 1, y + z)
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o vetor zero. Se substituirmos x = 0 , y = 0 e z = 0 , temos:
T(0, 0, 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (-1, 0)
Mas, para ser uma transformação linear, deveria ser:
T(0, 0, 0) = (0, 0)
Como (-1, 0) neq (0, 0), já sabemos que essa transformação não é linear.

Resposta

A transformação T(x, y, z) = (x - 1, y + z) não é linear porque não satisfaz a condição que o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.

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