Considere o espaço vetorial real U=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{3} ; p(-1)=p(1)=0\right\} com produto interno
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^{1} p^{\prime}(x) q^{\prime}(x) d x, \quad \forall p, q \in U
(a) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S=\left[1-x^{2}\right] em U com relação ao produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle definido acima.

Passo 1

O enunciado define o subespaço \;U=\{p\in\mathcal{P}_3 : p(-1)=p(1)=0\}
num espaço com produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p'(x)\,q'(x)\,dx.
Queremos achar uma base do complementar ortogonal de \;S=\bigl[\,1 - x^{2}\bigr] em U, isto é, todos p\in U tais que \langle p,\,1-x^2\rangle=0.

Passo 2

Para caracterizar U\), seja \[p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d.
As condições p(1)=0 e p(-1)=0 dão o sistema
\begin{cases} a + b + c + d = 0,\\\\ -\,a + b - c + d = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações obtemos 2a + 2c = 0\], logo \(c=-a.
Somando as duas equações dá 2b + 2d=0, logo d=-b.
Portanto
p(x)=a\,(x^3 - x)\;+\;b\,(x^2 - 1).

Passo 3

Observamos que
U=\mathrm{span}\{\,x^3 - x,\;x^2 - 1\}.
Como 1 - x^2 = -(x^2-1), temos
S=\mathrm{span}\{\,1 - x^2\} = \mathrm{span}\{\,x^2 - 1\}.

Passo 4

Para p(x)=a(x^3 - x)+b(x^2 -1) ser ortogonal a 1-x^2, exigimos
\langle p,\,1-x^2\rangle \;=\; a\,\langle x^3 - x,\,1-x^2\rangle \;+\; b\,\langle x^2 -1,\,1-x^2\rangle \;=\;0.
Calculemos cada termo:
\langle x^3 - x,\,1-x^2\rangle =\int_{-1}^{1}(3x^2-1)\,(-2x)\,dx =-2\int_{-1}^{1}(3x^3 - x)\,dx =0
(porque a integral de função ímpar em [-1,1] é zero) e
\langle x^2 -1,\,1-x^2\rangle =\int_{-1}^{1}(2x)\,(-2x)\,dx =-4\int_{-1}^{1}x^2\,dx =-4\cdot\frac{2}{3} =-\frac{8}{3}\neq 0.
Assim a condição \langle p,1-x^2\rangle=0 implica b=0.

Passo 5

Fica p(x)=a\,(x^3 - x) com a\neq 0, logo o complementar ortogonal de S em U é
S^{\perp}=\mathrm{span}\{\,x^3 - x\}.

Resposta

Uma base para o complemento ortogonal de S em U é
\{\,x^3 - x\}.

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