Considere o espaço vetorial real U=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{3} ; p(-1)=p(1)=0\right\} com produto interno
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^{1} p^{\prime}(x) q^{\prime}(x) d x, \quad \forall p, q \in U
(a) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S=\left[1-x^{2}\right] em U com relação ao produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle definido acima.
Passo 1
O enunciado define o subespaço \;U=\{p\in\mathcal{P}_3 : p(-1)=p(1)=0\}
num espaço com produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p'(x)\,q'(x)\,dx.
Queremos achar uma base do complementar ortogonal de \;S=\bigl[\,1 - x^{2}\bigr] em U, isto é, todos p\in U tais que \langle p,\,1-x^2\rangle=0.
Passo 2
Para caracterizar U\), seja
\[p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d.
As condições p(1)=0 e p(-1)=0 dão o sistema
\begin{cases} a + b + c + d = 0,\\\\ -\,a + b - c + d = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações obtemos 2a + 2c = 0\], logo \(c=-a.
Somando as duas equações dá 2b + 2d=0, logo d=-b.
Portanto