Seja
o espaço vetorial dos números complexos (ver exercício 2 da lista L2P2).
Mostre que os vetores
e
são linearmente independentes em
.
DICA: lembre-se que aqui o vetor nulo é
. Agora verifique que o sistema
tem solução única para
e
reais.
DICA: lembre-se que aqui o vetor nulo é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
são linearmente independentes no espaço vetorial
dos números complexos, visto como espaço sobre
.
Para isso, devemos verificar que a única solução real do sistema
Para isso, devemos verificar que a única solução real do sistema
é
e
.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e expandindo, temos
Passo 3
Igualamos parte real e parte imaginária a zero:
Passo 4
Para resolver o sistema, somamos as duas equações:
Substituindo
em
dá
Passo 5
Como a única solução é
e
, concluímos que não existe combinação linear não trivial entre
e
.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes em
.