Seja V o espaço vetorial dos números complexos (ver exercício 2 da lista L2P2).
V=a+b i: a, b in R e i=raiz-1
Mostre que os vetores v1=1+i e v2=1-i são linearmente independentes em V.
DICA: lembre-se que aqui o vetor nulo é 0=0+0 i. Agora verifique que o sistema x(1+i)+y(1-i)=0+0 i tem solução única para x e y reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
v1=1+i, v2=1-i
são linearmente independentes no espaço vetorial V dos números complexos, visto como espaço sobre R.
Para isso, devemos verificar que a única solução real do sistema
x(1+i)+y(1-i)=0+0i
é x=0 e y=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e expandindo, temos
x(1+i)+y(1-i)=x + xi + y - yi=(x+y)+(x-y)i

Passo 3

Igualamos parte real e parte imaginária a zero:
x+y=0, x-y=0

Passo 4

Para resolver o sistema, somamos as duas equações:
(x+y)+(x-y)=0+0;Longrightarrow;2x=0;Longrightarrow;x=0
Substituindo x=0 em x+y=0
0+y=0;Longrightarrow;y=0

Passo 5

Como a única solução é x=0 e y=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial entre v1 e v2.

Resposta

Os vetores v1=1+i e v2=1-i são linearmente independentes em V.

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