Verifique se o vetor u=3+x+4 x^2 é combinação linear dos vetores f1(x)=1+x, f2(x)=1-x e f3(x)=3 x^2 no espaço vetorial das funções. (Dica: u=a f1+b f2+c f3 Leftrightarrow 3.1+1 x+4 x^2=a(1+x)+b(1-x)+c 3 x^2
=(a+b) cdot 1+(a-b) cdot x+3 c cdot x^2 comparando, devemos ter 3=a+b ; 1=a-b e 4=3 c, se este sistema tiver solução para a, b e c então é C. L…

Passo 1

O enunciado pede verificar se a função
u(x)=3 + x + 4x^2
é combinação linear dos vetores (funções)
f1(x)=1+x, f2(x)=1-x, f3(x)=3x^2
no espaço vetorial das funções polinomiais. Para isso, vamos buscar escalares a,b,c tais que
u(x)=a,f1(x)+b,f2(x)+c,f3(x)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos semelhantes, temos
a,f1(x)+b,f2(x)+c,f3(x) = a(1+x) ;+; b(1-x);+;c,(3x^2)
Agrupando os coeficientes de 1, de x e de x^2, obtemos
(a+b)cdot1 ;+;(a-b)cdot x ;+;(3c)cdot x^2

Passo 3

Como queremos que isso seja igual a
3cdot1 ;+;1cdot x ;+;4cdot x^2,
comparamos coeficientes termo a termo e obtemos o sistema
a + b = 3, a - b = 1, 3c = 4

Passo 4

Resolvendo as duas primeiras equações, somamos para achar a:
(a+b)+(a-b)=3+1 ;Longrightarrow;2a=4 ;Longrightarrow;a=2
Então b=3-a=3-2=1. Da terceira equação vem
c=43

Passo 5

Como encontramos solução (a,b,c)=(2,1,tfrac43), concluímos que u(x) está no span de f1,f2,f3. A combinação linear é
u(x)=2,f1(x)+1,f2(x)+tfrac43,f3(x)

Resposta

Sim. Tem-se
u(x)=2,f1(x)+f2(x)+43,f3(x)

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